Сократите дробь $$ \frac{c^2 - 36}{c^2 + 12c + 36} $$

Решение:

Для сокращения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращённого умножения.

1. Разложим числитель. Числитель \( c^2 - 36 \) является разностью квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \). Здесь \( a = c \) и \( b = 6 \).
   \( c^2 - 36 = (c - 6)(c + 6) \)
2. Разложим знаменатель. Знаменатель \( c^2 + 12c + 36 \) является полным квадратом суммы \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). Здесь \( a = c \) и \( b = 6 \) (так как \( 2 \cdot c \cdot 6 = 12c \)).
   \( c^2 + 12c + 36 = (c + 6)^2 = (c + 6)(c + 6) \)
3. Теперь подставим разложенные выражения в дробь:
   \[ \frac{c^2 - 36}{c^2 + 12c + 36} = \frac{(c - 6)(c + 6)}{(c + 6)(c + 6)} \]
4. Сократим дробь, убрав одинаковые множители в числителе и знаменателе (при условии, что \( c \neq -6 \)).
   \[ \frac{(c - 6)\cancel{(c + 6)}}{\cancel{(c + 6)}(c + 6)} = \frac{c - 6}{c + 6} \]

Ответ: \( \frac{c - 6}{c + 6} \).