Сократите дробь $$\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{x}-x\sqrt{y}}{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}$$

Question

Вопрос:

Сократите дробь $$\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{x}-x\sqrt{y}}{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}$$

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Запишем данное выражение:

$ \frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{x}-x\sqrt{y}}{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}} $

Перегруппируем члены в числителе:

$ \frac{(x\sqrt{x}-x\sqrt{y})+(y\sqrt{x})}{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}} $

Вынесем общие множители:

$ \frac{x(\sqrt{x}-\sqrt{y}) + y\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}} $

Рассмотрим другое преобразование числителя, группируя по-иному:

$ \frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{x} - x\sqrt{y}}{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{x})^3 + y\sqrt{x} - x\sqrt{y}}{(\sqrt{x})^3 + (\sqrt{y})^3} $

Это не приводит к упрощению.

Попробуем разложить знаменатель как сумму кубов: $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $. Здесь $ a = √ x $ и $ b = √ y $.

$ x\sqrt{x}+y√ y = (√ x)^3 + (√ y)^3 = (√ x + √ y)((√ x)^2 - √ x √ y + (√ y)^2) = (√ x + √ y)(x - √{xy} + y) $

Попробуем преобразовать числитель, выделив $ √ x $ и $ √ y $ как отдельные переменные. Пусть $ a = √ x $ и $ b = √ y $. Тогда $ x = a^2 $ и $ y = b^2 $.

Выражение становится:

$ \frac{a^2 · a + b^2 · a - a^2 · b}{a^2 · a + b^2 · b} = \frac{a^3 + ab^2 - a^2b}{a^3 + b^3} $

Разложим числитель:

$ a^3 + ab^2 - a^2b = a(a^2 + b^2 - ab) $

Теперь подставим обратно в дробь:

$ \frac{a(a^2 - ab + b^2)}{a^3 + b^3} $

Мы знаем, что $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $. Поэтому:

$ \frac{a(a^2 - ab + b^2)}{(a+b)(a^2 - ab + b^2)} $

Сократим общий множитель $ (a^2 - ab + b^2) $ (при условии, что он не равен нулю):

$ \frac{a}{a+b} $

Подставим обратно $ a = √ x $ и $ b = √ y $:

$ \frac{√ x}{√ x + √ y} $

Проверка условия, при котором $ a^2 - ab + b^2 $ не равен нулю:

$ a^2 - ab + b^2 = 0 $. Умножим на 2: $ 2a^2 - 2ab + 2b^2 = 0 $. Можно представить как $ a^2 + (a-b)^2 + b^2 = 0 $. Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю. Это означает $ a=0 $ и $ b=0 $, что соответствует $ x=0 $ и $ y=0 $. В этом случае знаменатель $ x√ x + y√ y = 0 $, что недопустимо. Следовательно, $ a^2 - ab + b^2 $ не равен нулю для допустимых $ x, y $ (где $ x ≥ 0, y ≥ 0 $ и $ x√ x + y√ y ≠ 0 $).

Ответ: $ \frac{√ x}{√ x + √ y} $