758. Сократите дробь: 1) 4x²+x-3; x²-1 2y² + 3y - 5 2) y² - 2y +1 2 +1'; 3) a² + 5a +4. a²-a-20 3 + 206-762 4) 762-66-1

Привет! Сейчас помогу тебе разобраться с сокращением этих дробей. Будем делать все по порядку, чтобы было понятно. 1) \[\frac{4x^2+x-3}{x^2-1}\] * Сначала разложим числитель и знаменатель на множители. Для числителя \(4x^2+x-3\) найдем корни квадратного уравнения \(4x^2+x-3 = 0\). Дискриминант \(D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49\). Корни: \[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\] \[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1\] * Тогда числитель можно представить как \(4(x - \frac{3}{4})(x + 1) = (4x - 3)(x + 1)\). * Знаменатель \(x^2 - 1\) разложим как разность квадратов: \((x - 1)(x + 1)\). * Теперь сократим дробь: \[\frac{(4x - 3)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{4x - 3}{x - 1}\] 2) \[\frac{2y^2 + 3y - 5}{y^2 - 2y + 1}\] * Разложим числитель \(2y^2 + 3y - 5\) на множители. Решим квадратное уравнение \(2y^2 + 3y - 5 = 0\). Дискриминант \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49\). Корни: \[y_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1\] \[y_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}\] * Тогда числитель можно представить как \(2(y - 1)(y + \frac{5}{2}) = (y - 1)(2y + 5)\). * Знаменатель \(y^2 - 2y + 1\) является полным квадратом: \((y - 1)^2\). * Сократим дробь: \[\frac{(y - 1)(2y + 5)}{(y - 1)^2} = \frac{2y + 5}{y - 1}\] 3) \[\frac{a^2 + 5a + 4}{a^2 - a - 20}\] * Разложим числитель \(a^2 + 5a + 4\) на множители. Решим квадратное уравнение \(a^2 + 5a + 4 = 0\). По теореме Виета, корни \(a_1 = -1\) и \(a_2 = -4\). Значит, числитель можно представить как \((a + 1)(a + 4)\). * Разложим знаменатель \(a^2 - a - 20\) на множители. Решим квадратное уравнение \(a^2 - a - 20 = 0\). По теореме Виета, корни \(a_1 = 5\) и \(a_2 = -4\). Значит, знаменатель можно представить как \((a - 5)(a + 4)\). * Сократим дробь: \[\frac{(a + 1)(a + 4)}{(a - 5)(a + 4)} = \frac{a + 1}{a - 5}\] 4) \[\frac{3 + 20b - 7b^2}{7b^2 - 6b - 1}\] * Разложим числитель \(-7b^2 + 20b + 3\) на множители. Решим квадратное уравнение \(-7b^2 + 20b + 3 = 0\), или \(7b^2 - 20b - 3 = 0\). Дискриминант \(D = (-20)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-3) = 400 + 84 = 484\). Корни: \[b_1 = \frac{20 + \sqrt{484}}{2 \cdot 7} = \frac{20 + 22}{14} = \frac{42}{14} = 3\] \[b_2 = \frac{20 - \sqrt{484}}{2 \cdot 7} = \frac{20 - 22}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}\] * Тогда числитель можно представить как \(-7(b - 3)(b + \frac{1}{7}) = -(b - 3)(7b + 1)\). * Разложим знаменатель \(7b^2 - 6b - 1\) на множители. Решим квадратное уравнение \(7b^2 - 6b - 1 = 0\). Дискриминант \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64\). Корни: \[b_1 = \frac{6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6 + 8}{14} = \frac{14}{14} = 1\] \[b_2 = \frac{6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6 - 8}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}\] * Тогда знаменатель можно представить как \(7(b - 1)(b + \frac{1}{7}) = (b - 1)(7b + 1)\). * Сократим дробь: \[\frac{-(b - 3)(7b + 1)}{(b - 1)(7b + 1)} = -\frac{b - 3}{b - 1} = \frac{3 - b}{b - 1}\] Все дроби сокращены и разложены по полочкам. У тебя отлично получается, и я уверена, что с практикой ты будешь решать такие примеры еще быстрее! Удачи!