61. Сократите дробь: 1) 2x29x + 10/2x2+ x - 15; 2) 3y² + 8y3/6y2+ 13y5; 3) 6a2 + 5a - 4/3a² + 19a + 20; 4) 4+ 3aa2/3a² + 4a +1.

1) Сократим дробь $$\frac{2x^2 - 9x + 10}{2x^2 + x - 15}$$. Разложим числитель и знаменатель на множители. Для этого найдем корни соответствующих квадратных трехчленов. Числитель: $$2x^2 - 9x + 10 = 0$$. $$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 - 80 = 1$$. $$x_1 = \frac{9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$$ и $$x_2 = \frac{9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$$. $$2x^2 - 9x + 10 = 2(x - \frac{5}{2})(x - 2) = (2x - 5)(x - 2)$$. Знаменатель: $$2x^2 + x - 15 = 0$$. $$D = (1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121$$. $$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 11}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$$ и $$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 11}{4} = \frac{-12}{4} = -3$$. $$2x^2 + x - 15 = 2(x - \frac{5}{2})(x + 3) = (2x - 5)(x + 3)$$. Тогда $$\frac{2x^2 - 9x + 10}{2x^2 + x - 15} = \frac{(2x - 5)(x - 2)}{(2x - 5)(x + 3)} = \frac{x - 2}{x + 3}$$. 2) Сократим дробь $$\frac{3y^2 + 8y - 3}{6y^2 + 13y - 5}$$. Разложим числитель и знаменатель на множители. Для этого найдем корни соответствующих квадратных трехчленов. Числитель: $$3y^2 + 8y - 3 = 0$$. $$D = (8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$$. $$y_1 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ и $$y_2 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3$$. $$3y^2 + 8y - 3 = 3(y - \frac{1}{3})(y + 3) = (3y - 1)(y + 3)$$. Знаменатель: $$6y^2 + 13y - 5 = 0$$. $$D = (13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 169 + 120 = 289$$. $$y_1 = \frac{-13 + \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{-13 + 17}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$ и $$y_2 = \frac{-13 - \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{-13 - 17}{12} = \frac{-30}{12} = -\frac{5}{2}$$. $$6y^2 + 13y - 5 = 6(y - \frac{1}{3})(y + \frac{5}{2}) = (3y - 1)(2y + 5)$$. Тогда $$\frac{3y^2 + 8y - 3}{6y^2 + 13y - 5} = \frac{(3y - 1)(y + 3)}{(3y - 1)(2y + 5)} = \frac{y + 3}{2y + 5}$$. 3) Сократим дробь $$\frac{6a^2 + 5a - 4}{3a^2 + 19a + 20}$$. Разложим числитель и знаменатель на множители. Для этого найдем корни соответствующих квадратных трехчленов. Числитель: $$6a^2 + 5a - 4 = 0$$. $$D = (5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4) = 25 + 96 = 121$$. $$a_1 = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 + 11}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$ и $$a_2 = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 - 11}{12} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3}$$. $$6a^2 + 5a - 4 = 6(a - \frac{1}{2})(a + \frac{4}{3}) = (2a - 1)(3a + 4)$$. Знаменатель: $$3a^2 + 19a + 20 = 0$$. $$D = (19)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 20 = 361 - 240 = 121$$. $$a_1 = \frac{-19 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-19 + 11}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$$ и $$a_2 = \frac{-19 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-19 - 11}{6} = \frac{-30}{6} = -5$$. $$3a^2 + 19a + 20 = 3(a + \frac{4}{3})(a + 5) = (3a + 4)(a + 5)$$. Тогда $$\frac{6a^2 + 5a - 4}{3a^2 + 19a + 20} = \frac{(2a - 1)(3a + 4)}{(3a + 4)(a + 5)} = \frac{2a - 1}{a + 5}$$. 4) Сократим дробь $$\frac{4 + 3a - a^2}{3a^2 + 4a + 1}$$. Разложим числитель и знаменатель на множители. Для этого найдем корни соответствующих квадратных трехчленов. Числитель: $$-a^2 + 3a + 4 = 0$$. $$D = (3)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 4 = 9 + 16 = 25$$. $$a_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-3 + 5}{-2} = \frac{2}{-2} = -1$$ и $$a_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-3 - 5}{-2} = \frac{-8}{-2} = 4$$. $$-a^2 + 3a + 4 = -(a + 1)(a - 4) = (a + 1)(4 - a)$$. Знаменатель: $$3a^2 + 4a + 1 = 0$$. $$D = (4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$$. $$a_1 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 2}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$ и $$a_2 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 2}{6} = \frac{-6}{6} = -1$$. $$3a^2 + 4a + 1 = 3(a + \frac{1}{3})(a + 1) = (3a + 1)(a + 1)$$. Тогда $$\frac{4 + 3a - a^2}{3a^2 + 4a + 1} = \frac{(a + 1)(4 - a)}{(3a + 1)(a + 1)} = \frac{4 - a}{3a + 1}$$.

Ответ: 1) $$\frac{x - 2}{x + 3}$$; 2) $$\frac{y + 3}{2y + 5}$$; 3) $$\frac{2a - 1}{a + 5}$$; 4) $$\frac{4 - a}{3a + 1}$$