502. Сократите дробь: a) x√x - y√y; √x - √y ; б) √a + √চ ; a√a + b√চ'; в) 2√2 - x√x 2 + √2x + x ; г) a - √3a + 3 ανα + 3√3 ;

a) Преобразуем числитель дроби:

$$ x\sqrt{x} - y\sqrt{y} = (\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3 $$

Разложим на множители, используя формулу разности кубов:

$$ (\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y) $$

Тогда дробь примет вид:

$$ \frac{x\sqrt{x} - y\sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y)}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} $$

Сокращаем на общий множитель $$\sqrt{x} - \sqrt{y}$$:

$$ \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y)}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = x + \sqrt{xy} + y $$

Ответ: $$x + \sqrt{xy} + y$$

б) Преобразуем знаменатель дроби:

$$ a\sqrt{a} + b\sqrt{b} = (\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3 $$

Разложим на множители, используя формулу суммы кубов:

$$ (\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b) $$

Тогда дробь примет вид:

$$ \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)} $$

Сокращаем на общий множитель $$\sqrt{a} + \sqrt{b}$$:

$$ \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)} = \frac{1}{a - \sqrt{ab} + b} $$

Ответ: $$\frac{1}{a - \sqrt{ab} + b}$$

в) Преобразуем числитель дроби:

$$ 2\sqrt{2} - x\sqrt{x} = (\sqrt{2})^3 - (\sqrt{x})^3 $$

Разложим на множители, используя формулу разности кубов:

$$ (\sqrt{2})^3 - (\sqrt{x})^3 = (\sqrt{2} - \sqrt{x})(2 + \sqrt{2x} + x) $$

Тогда дробь примет вид:

$$ \frac{2\sqrt{2} - x\sqrt{x}}{2 + \sqrt{2x} + x} = \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{x})(2 + \sqrt{2x} + x)}{2 + \sqrt{2x} + x} $$

Сокращаем на общий множитель $$2 + \sqrt{2x} + x$$:

$$ \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{x})(2 + \sqrt{2x} + x)}{2 + \sqrt{2x} + x} = \sqrt{2} - \sqrt{x} $$

Ответ: $$\sqrt{2} - \sqrt{x}$$

г) Преобразуем числитель дроби:

$$ a - \sqrt{3a} + 3 = (\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{4} + \frac{9}{4} = (\sqrt{a} - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + \frac{9}{4} $$

Преобразуем знаменатель дроби:

$$ a\sqrt{a} + 3\sqrt{3} = (\sqrt{a})^3 + (\sqrt{3})^3 = (\sqrt{a} + \sqrt{3})(a - \sqrt{3a} + 3) $$

Тогда дробь примет вид:

$$ \frac{a - \sqrt{3a} + 3}{a\sqrt{a} + 3\sqrt{3}} = \frac{a - \sqrt{3a} + 3}{(\sqrt{a} + \sqrt{3})(a - \sqrt{3a} + 3)} $$

Сокращаем на общий множитель $$a - \sqrt{3a} + 3$$:

$$ \frac{a - \sqrt{3a} + 3}{(\sqrt{a} + \sqrt{3})(a - \sqrt{3a} + 3)} = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{3}} $$

Ответ: $$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{3}}$$