Сократите дробь $$\frac{75^n}{5^{2n-1} \cdot 3^{n-2}}$$

Чтобы сократить данную дробь, сначала представим число 75 как произведение простых чисел: $$75 = 3 \cdot 5^2$$. Тогда $$75^n = (3 \cdot 5^2)^n = 3^n \cdot 5^{2n}$$.

Теперь перепишем дробь с учетом этого:

$$\frac{75^n}{5^{2n-1} \cdot 3^{n-2}} = \frac{3^n \cdot 5^{2n}}{5^{2n-1} \cdot 3^{n-2}}$$

Используем свойства степеней, чтобы упростить выражение. В частности, вспомним, что $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$. Применим это к степеням 3 и 5:

$$\frac{3^n \cdot 5^{2n}}{5^{2n-1} \cdot 3^{n-2}} = 3^{n - (n-2)} \cdot 5^{2n - (2n-1)} = 3^{n - n + 2} \cdot 5^{2n - 2n + 1} = 3^2 \cdot 5^1$$

Вычисляем значения степеней:

$$3^2 \cdot 5^1 = 9 \cdot 5 = 45$$

Ответ: 45