Сократите дроби: а) $\frac{(a-1)(a+1)}{a^4-2a^2+1}$; б) $\frac{4y^2-1}{1+8y^3}$; в) $\frac{x^2-y^2+2x-2y}{x+y+2}$.

Question

$Фото задания: Сократите дроби: а) $\frac{(a-1)(a+1)}{a^4-2a^2+1}$; б) $\frac{4y^2-1}{1+8y^3}$; в) $\frac{x^2-y^2+2x-2y}{x+y+2}$.$ Фото задания

Accepted Answer

$a^4-2a^2+1=(a^2-1)^2=(a-1)^2(a+1)^2$. Поэтому \[\frac{(a-1)(a+1)}{a^4-2a^2+1}=\frac{(a-1)(a+1)}{(a-1)^2(a+1)^2}=\frac{1}{(a-1)(a+1)}=\frac{1}{a^2-1}.\] Ограничения: $a\ne \pm1$.
$4y^2-1=(2y-1)(2y+1)$, а $1+8y^3=(2y+1)(4y^2-2y+1)$. Поэтому \[\frac{4y^2-1}{1+8y^3}=\frac{(2y-1)(2y+1)}{(2y+1)(4y^2-2y+1)}=\frac{2y-1}{4y^2-2y+1}.\] Ограничение: $y\ne -\frac12$.
\[x^2-y^2+2x-2y=(x-y)(x+y)+2(x-y)=(x-y)(x+y+2).\] Поэтому \[\frac{x^2-y^2+2x-2y}{x+y+2}=x-y.\] Ограничение: $x+y+2\ne0$.

Ответ: а) $\frac{1}{a^2-1}$; б) $\frac{2y-1}{4y^2-2y+1}$; в) $x-y$.

Сократите дроби: а) \(\frac{(a-1)(a+1)}{a^4-2a^2+1}\); б) \(\frac{4y^2-1}{1+8y^3}\); в) \(\frac{x^2-y^2+2x-2y}{x+y+2}\).