Сократите дроби: а) $\frac{(a-1)(a+1)}{a^4-2a^2+1}$; б) $\frac{4y^2-1}{1+8y^3}$; в) $\frac{x^2-y^2+2x-2y}{x+y+2}$; а) $\frac{(a+2)(a-2)}{a^4-8a^2+16}$; б) $\frac{27y^3+1}{1-9y^2}$; в) $\frac{x^2-y^2-3x-3y}{x-y-3}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Сократите дроби: а) $\frac{(a-1)(a+1)}{a^4-2a^2+1}$; б) $\frac{4y^2-1}{1+8y^3}$; в) $\frac{x^2-y^2+2x-2y}{x+y+2}$; а)…$ Фото задания

Сократите дроби: а) $\frac{(a-1)(a+1)}{a^4-2a^2+1}$; б) $\frac{4y^2-1}{1+8y^3}$; в) $\frac{x^2-y^2+2x-2y}{x+y+2}$; а) $\frac{(a+2)(a-2)}{a^4-8a^2+16}$; б) $\frac{27y^3+1}{1-9y^2}$; в) $\frac{x^2-y^2-3x-3y}{x-y-3}$.

Accepted Answer

Левая часть:

Разложим знаменатель: $a^4-2a^2+1=(a^2-1)^2=(a-1)^2(a+1)^2$.
Сокращаем общие множители:
\[\frac{(a-1)(a+1)}{(a-1)^2(a+1)^2}=\frac{1}{(a-1)(a+1)}=\frac{1}{a^2-1}.\]
Разложим на множители:
\[4y^2-1=(2y-1)(2y+1),\quad 1+8y^3=(2y+1)(4y^2-2y+1).\]
Тогда
\[\frac{4y^2-1}{1+8y^3}=\frac{2y-1}{4y^2-2y+1}.\]
Сгруппируем слагаемые в числителе:
\[x^2-y^2+2x-2y=(x-y)(x+y)+2(x-y)=(x-y)(x+y+2).\]
Следовательно,
\[\frac{(x-y)(x+y+2)}{x+y+2}=x-y.\]

Ответ: а) $\frac{1}{a^2-1}$; б) $\frac{2y-1}{4y^2-2y+1}$; в) $x-y$.

Правая часть:

\[a^4-8a^2+16=(a^2-4)^2=(a-2)^2(a+2)^2.\]
Поэтому
\[\frac{(a+2)(a-2)}{(a+2)^2(a-2)^2}=\frac{1}{(a+2)(a-2)}=\frac{1}{a^2-4}.\]
Разложим числитель и знаменатель:
\[27y^3+1=(3y+1)(9y^2-3y+1),\quad 1-9y^2=(1-3y)(1+3y).\]
Сокращаем множитель $3y+1=1+3y$:
\[\frac{27y^3+1}{1-9y^2}=\frac{9y^2-3y+1}{1-3y}.\]
Разложим числитель группировкой:
\[x^2-y^2-3x-3y=(x-y)(x+y)-3(x+y)=(x+y)(x-y-3).\]
Тогда
\[\frac{(x+y)(x-y-3)}{x-y-3}=x+y.\]

Ответ: а) $\frac{1}{a^2-4}$; б) $\frac{9y^2-3y+1}{1-3y}$; в) $x+y$.

Сократите дроби: а) \(\frac{(a-1)(a+1)}{a^4-2a^2+1}\); б) \(\frac{4y^2-1}{1+8y^3}\); в) \(\frac{x^2-y^2+2x-2y}{x+y+2}\); а) \(\frac{(a+2)(a-2)}{a^4-8a^2+16}\); б) \(\frac{27y^3+1}{1-9y^2}\); в) \(\frac{x^2-y^2-3x-3y}{x-y-3}\).

Ответ: