Солнечные лучи падают на землю под углом φ = 36° к ее поверхности. Под каким углом к горизонту следует расположить плоское зеркало, чтобы направить отраженные от него световые лучи горизонтально в сторону Солнца?

Решение:

По условию задачи, солнечные лучи падают на землю под углом \( \varphi = 36^{\circ} \) к ее поверхности. Это означает, что угол падения солнечных лучей к горизонту (нормали к поверхности земли) равен \( 90^{\circ} - 36^{\circ} = 54^{\circ} \).

Нам нужно расположить плоское зеркало так, чтобы отраженные от него лучи шли горизонтально, то есть параллельно земле.

По закону отражения света, угол падения равен углу отражения (\( \alpha_{пад} = \alpha_{отр} \)), причем падающий луч, отраженный луч и перпендикуляр (нормаль) к поверхности зеркала лежат в одной плоскости.

Пусть \( \theta \) — угол, под которым зеркало расположено к горизонту (то есть угол между плоскостью зеркала и горизонтальной плоскостью).

Угол между падающим лучом и землей равен \( 36^{\circ} \). Угол между падающим лучом и нормалью к зеркалу будет \( \alpha_{пад} \). Угол между отраженным лучом и нормалью к зеркалу будет \( \alpha_{отр} \).

Нам нужно, чтобы отраженный луч был горизонтальным. То есть, угол между отраженным лучом и землей должен быть \( 0^{\circ} \).

Рассмотрим угол падения солнечного луча на зеркало. Солнечный луч падает под углом \( 36^{\circ} \) к земле. Пусть нормаль к зеркалу составляет угол \( \gamma \) с землей. Тогда угол между солнечным лучом и нормалью к зеркалу будет \( \alpha_{пад} = |90^{\circ} - (36^{\circ} + \gamma)| \) или \( \alpha_{пад} = |90^{\circ} - (36^{\circ} - \gamma)| \) в зависимости от направления \( \gamma \).

Рассмотрим другой подход. Нам нужно, чтобы отраженный луч был горизонтальным. Пусть нормаль к зеркалу образует угол \( \alpha \) с горизонтом. Тогда угол падения \( \alpha_{пад} \) и угол отражения \( \alpha_{отр} \) тоже будут относительно этой нормали.

Угол между падающим лучом и горизонтом равен \( 36^{\circ} \). Угол между отраженным лучом и горизонтом должен быть \( 0^{\circ} \).

Пусть \( \alpha \) — угол, который образует нормаль к зеркалу с горизонтом. Тогда угол между падающим лучом и нормалью будет \( \alpha_{пад} = 90^{\circ} - (36^{\circ} + \alpha) \) (если нормаль направлена от зеркала вверх, а луч падает под углом \( 36^{\circ} \) к горизонту).

Угол между отраженным лучом и нормалью \( \alpha_{отр} = \alpha_{пад} \). Отраженный луч должен быть горизонтальным, значит, угол между отраженным лучом и нормалью равен \( 90^{\circ} - \alpha \).

Следовательно, \( 90^{\circ} - (36^{\circ} + \alpha) = 90^{\circ} - \alpha \).

Это равенство неверно, значит, нужно правильно определить углы.

Рассмотрим угол между лучом и поверхностью. Падающий луч образует с поверхностью земли угол \( 36^{\circ} \). Отраженный луч должен образовывать с поверхностью земли угол \( 0^{\circ} \).

Пусть \( \alpha \) — угол между зеркалом и горизонтом. Тогда нормаль к зеркалу образует угол \( 90^{\circ} - \alpha \) с горизонтом.

Угол падения \( \alpha_{пад} \) — это угол между падающим лучом и нормалью к зеркалу. Угол между падающим лучом и горизонтом равен \( 36^{\circ} \).

Если нормаль к зеркалу образует угол \( \beta \) с горизонтом, то угол падения \( \alpha_{пад} = |(90^{\circ} - 36^{\circ}) - \beta| = |54^{\circ} - \beta| \).

Угол отражения \( \alpha_{отр} = \alpha_{пад} \).

Отраженный луч горизонтален, значит, угол между ним и горизонтом \( 0^{\circ} \). Угол между отраженным лучом и нормалью \( \alpha_{отр} = |90^{\circ} - \beta| \).

Приравниваем:

\[ |54^{\circ} - \beta| = |90^{\circ} - \beta| \]

Это возможно, если \( 54^{\circ} - \beta = -(90^{\circ} - \beta) \) или \( 54^{\circ} - \beta = 90^{\circ} - \beta \).

Второй случай \( 54^{\circ} = 90^{\circ} \) невозможен. Рассмотрим первый:

\[ 54^{\circ} - \beta = -90^{\circ} + \beta \]

\( 54^{\circ} + 90^{\circ} = 2\beta \)

\[ 144^{\circ} = 2\beta \]

\( \beta = 72^{\circ} \)

\( \beta \) — это угол между нормалью к зеркалу и горизонтом.

Нас интересует угол между зеркалом и горизонтом, который равен \( \alpha = 90^{\circ} - \beta \).

\[ \alpha = 90^{\circ} - 72^{\circ} = 18^{\circ} \]

Проверка:

Если зеркало под углом \( 18^{\circ} \) к горизонту, то нормаль под углом \( 72^{\circ} \) к горизонту.

Падающий луч под углом \( 36^{\circ} \) к горизонту. Угол падения \( \alpha_{пад} = |72^{\circ} - 36^{\circ}| = 36^{\circ} \).

Угол отражения \( \alpha_{отр} = 36^{\circ} \).

Отраженный луч будет под углом \( 90^{\circ} - 36^{\circ} = 54^{\circ} \) к нормали. Относительно горизонта угол отраженного луча будет \( 72^{\circ} - 54^{\circ} = 18^{\circ} \).

Это не горизонтально.

Рассмотрим еще раз. Пусть \( \alpha \) — угол падения солнечного луча относительно нормали к поверхности земли. \( \alpha = 90^{\circ} - 36^{\circ} = 54^{\circ} \).

Пусть \( \theta \) — угол, под которым зеркало наклонено к горизонту. Тогда нормаль к зеркалу наклонена под углом \( 90^{\circ} - \theta \) к горизонту.

Угол падения луча на зеркало \( \alpha_{пад} \). Угол отражения \( \alpha_{отр} \).

Нам нужно, чтобы отраженный луч был горизонтальным.

Угол между падающим лучом и землей — \( 36^{\circ} \). Угол между падающим лучом и нормалью к земле — \( 54^{\circ} \).

Пусть зеркало повернуто на угол \( x \) относительно земли. Тогда нормаль к зеркалу повернута на \( 90-x \) относительно земли.

Падающий луч имеет угол \( 36^{\circ} \) к земле. Угол падения \( \alpha_{пад} \) на зеркало равен \( |(90-x) - 36^{\circ}| \) или \( |(90-x) + 36^{\circ}| \).

Отраженный луч должен быть горизонтальным, т.е. угол с землей \( 0^{\circ} \). Угол между отраженным лучом и нормалью \( \alpha_{отр} = |(90-x) - 0^{\circ}| = 90-x \).

Используем закон отражения: \( \alpha_{пад} = \alpha_{отр} \).

\( |90-x - 36| = 90-x \) или \( |90-x + 36| = 90-x \).

Рассмотрим первый случай: \( |54-x| = 90-x \).

Либо \( 54-x = 90-x \) (невозможно, \( 54 \neq 90 \))

Либо \( 54-x = -(90-x) = -90+x \)

\( 54+90 = 2x \)

\( 144 = 2x \)

\( x = 72^{\circ} \).

Это угол между падающим лучом и зеркалом. Не то.

Рассмотрим второй случай: \( |126-x| = 90-x \).

Либо \( 126-x = 90-x \) (невозможно, \( 126 \neq 90 \))

Либо \( 126-x = -(90-x) = -90+x \)

\( 126+90 = 2x \)

\( 216 = 2x \)

\( x = 108^{\circ} \).

Это также не тот угол.

Рассмотрим схему: падающий луч под углом 36° к горизонту. Отраженный луч под углом 0° к горизонту. Пусть зеркало наклонено под углом \( \alpha \) к горизонту.

Угол между падающим лучом и нормалью к зеркалу = угол между отраженным лучом и нормалью к зеркалу.

Угол между падающим лучом и горизонтом = \( 36^{\circ} \).

Угол между отраженным лучом и горизонтом = \( 0^{\circ} \).

Угол между зеркалом и горизонтом = \( \alpha \).

Угол между нормалью к зеркалу и горизонтом = \( 90^{\circ} - \alpha \).

Угол падения \( \alpha_{пад} \) = угол между падающим лучом и нормалью.

Угол отражения \( \alpha_{отр} \) = угол между отраженным лучом и нормалью.

Угол между падающим лучом и нормалью = \( |(90^{\circ} - \alpha) - 36^{\circ}| \) или \( |(90^{\circ} - \alpha) + 36^{\circ}| \).

Угол между отраженным лучом и нормалью = \( |(90^{\circ} - \alpha) - 0^{\circ}| = 90^{\circ} - \alpha \).

Следовательно, \( |90^{\circ} - \alpha - 36^{\circ}| = 90^{\circ} - \alpha \) или \( |90^{\circ} - \alpha + 36^{\circ}| = 90^{\circ} - \alpha \).

Рассмотрим первое уравнение: \( |54^{\circ} - \alpha| = 90^{\circ} - \alpha \).

Случай 1: \( 54^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - \alpha \) \(\rightarrow 54^{\circ} = 90^{\circ} \) — неверно.

Случай 2: \( 54^{\circ} - \alpha = -(90^{\circ} - \alpha) = -90^{\circ} + \alpha \) \(\rightarrow 144^{\circ} = 2\alpha \) \(\rightarrow \alpha = 72^{\circ} \).

Если \( \alpha = 72^{\circ} \) (угол между зеркалом и горизонтом), то нормаль под углом \( 18^{\circ} \) к горизонту. Угол падения \( |18^{\circ} - 36^{\circ}| = |-18^{\circ}| = 18^{\circ} \). Угол отражения \( 18^{\circ} \). Угол отраженного луча с горизонтом \( 18^{\circ} + 18^{\circ} = 36^{\circ} \).

Рассмотрим второе уравнение: \( |126^{\circ} - \alpha| = 90^{\circ} - \alpha \).

Случай 1: \( 126^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - \alpha \) \(\rightarrow 126^{\circ} = 90^{\circ} \) — неверно.

Случай 2: \( 126^{\circ} - \alpha = -(90^{\circ} - \alpha) = -90^{\circ} + \alpha \) \(\rightarrow 216^{\circ} = 2\alpha \) \(\rightarrow \alpha = 108^{\circ} \).

Рассмотрим еще раз: падающий луч под углом \( 36^{\circ} \) к горизонту. Отраженный луч под углом \( 0^{\circ} \) к горизонту.

Пусть \( \theta \) — угол, под которым зеркало наклонено к горизонту.

Угол между падающим лучом и поверхностью зеркала = \( 180^{\circ} - (36^{\circ} + \theta) \) или \( 36^{\circ} - \theta \).

Угол между отраженным лучом и поверхностью зеркала = \( 180^{\circ} - (0^{\circ} + \theta) \) или \( 180^{\circ} - \theta \).

Угол падения = угол отражения.

Угол падения = \( 90^{\circ} - \text{угол между лучом и поверхностью} \).

Угол падения = \( 90^{\circ} - (36^{\circ} - \theta) \) = \( 54^{\circ} + \theta \).

Угол отражения = \( 90^{\circ} - (180^{\circ} - \theta) = \theta - 90^{\circ} \) (не может быть).

Вернемся к углам относительно нормали. Пусть \( \alpha \) — угол между зеркалом и горизонтом. Тогда нормаль к зеркалу образует угол \( 90^{\circ} - \alpha \) с горизонтом.

Падающий луч образует угол \( 36^{\circ} \) с горизонтом. Угол падения \( \alpha_{пад} \) = угол между падающим лучом и нормалью.

Отраженный луч образует угол \( 0^{\circ} \) с горизонтом. Угол отражения \( \alpha_{отр} \) = угол между отраженным лучом и нормалью.

\( \alpha_{пад} = \alpha_{отр} \).

Если нормаль наклонена под углом \( \beta \) к горизонту, то:

Угол между падающим лучом и нормалью: \( \alpha_{пад} = |\beta - 36^{\circ}| \).

Угол между отраженным лучом и нормалью: \( \alpha_{отр} = |\beta - 0^{\circ}| = |\beta| \).

\( |\beta - 36^{\circ}| = |\beta| \).

Случай 1: \( \beta - 36^{\circ} = \beta \) \(\rightarrow -36^{\circ} = 0 \) — неверно.

Случай 2: \( \beta - 36^{\circ} = -\beta \) \(\rightarrow 2\beta = 36^{\circ} \) \(\rightarrow \beta = 18^{\circ} \).

\( \beta \) — это угол между нормалью к зеркалу и горизонтом. Нам нужен угол между зеркалом и горизонтом, который равен \( \alpha = 90^{\circ} - \beta \).

\[ \alpha = 90^{\circ} - 18^{\circ} = 72^{\circ} \]

Проверка:

Если зеркало наклонено под углом \( 72^{\circ} \) к горизонту, то нормаль наклонена под углом \( 18^{\circ} \) к горизонту.

Падающий луч под углом \( 36^{\circ} \) к горизонту. Угол падения \( \alpha_{пад} = |18^{\circ} - 36^{\circ}| = |-18^{\circ}| = 18^{\circ} \).

Угол отражения \( \alpha_{отр} = 18^{\circ} \).

Угол между отраженным лучом и нормалью = \( 18^{\circ} \).

Угол между отраженным лучом и горизонтом = \( |18^{\circ} - 18^{\circ}| = 0^{\circ} \).

Это означает, что отраженный луч горизонтален.

Ответ: Плоское зеркало следует расположить под углом 72° к горизонту.