Solution: The embankment of the highway in cross-section has the shape of an isosceles trapezoid ABCD (Fig. 7.158), in which BC = 60 m, BH = 12 m, ∠A = ∠D = 60°.

Решение:

Задача сводится к нахождению площади трапеции ABCD.

1. Находим длину основания AD:

   В прямоугольном треугольнике ABH, угол ∠AHB = 90°, BH = 12 м, ∠BAH = 60°.

   Так как тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

   • \[ \tan(60°) = \frac{BH}{AH} \]
   • \[ \sqrt{3} = \frac{12}{AH} \]
   • \[ AH = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ м} \]

   Поскольку трапеция равнобедренная, то DH = AH.

   Длина основания AD:

   • \[ AD = AH + HD + BC \]
   • \[ AD = 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 60 = 60 + 8\sqrt{3} \text{ м} \]
2. Находим длину боковой стороны AB:

   В прямоугольном треугольнике ABH:

   • \[ \sin(60°) = \frac{BH}{AB} \]
   • \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12}{AB} \]
   • \[ AB = \frac{2 \cdot 12}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \text{ м} \]
3. Находим площадь трапеции:

   Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

   • \[ S = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH \]
   • \[ S = \frac{(60 + 8\sqrt{3}) + 60}{2} \cdot 12 \]
   • \[ S = \frac{120 + 8\sqrt{3}}{2} \cdot 12 \]
   • \[ S = (60 + 4\sqrt{3}) \cdot 12 \]
   • \[ S = 720 + 48\sqrt{3} \text{ м}^2 \]

Ответ: Площадь трапеции составляет $$720 + 48\sqrt{3}$$ м².