Solve the differential equation: (x+2)y' = (1+y)

Решение:

Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

1. Перепишем уравнение: \( y' = \frac{1+y}{x+2} \)
2. Разделим переменные: \( \frac{dy}{1+y} = \frac{dx}{x+2} \)
3. Проинтегрируем обе части: \( \int \frac{dy}{1+y} = \int \frac{dx}{x+2} \)
4. Вычислим интегралы: \( \ln|1+y| = \ln|x+2| + C \)
5. Упростим выражение, используя свойства логарифмов: \( \ln|1+y| = \ln|x+2| + \ln|K| \) (где \( C = \ln|K| \), \( K \) — константа)
6. \( \ln|1+y| = \ln|K(x+2)| \)
7. Избавимся от логарифмов: \( |1+y| = |K(x+2)| \)
8. Окончательное решение: \( 1+y = K(x+2) \) или \( y = K(x+2) - 1 \), где \( K \) — произвольная постоянная.

Ответ: \( y = K(x+2) - 1 \).