Solve the equation: 3|y + 4| = 4|x - 2| + 12

Решение:

Данное уравнение представляет собой равенство двух абсолютных значений, умноженных на коэффициенты. Для решения такого типа уравнений необходимо рассмотреть различные случаи, зависящие от знаков выражений под модулем.

Рассмотрим выражения под модулем: \( y + 4 \) и \( x - 2 \).

Случай 1: \( y + 4 \ge 0 \) и \( x - 2 \ge 0 \). Это означает \( y \ge -4 \) и \( x \ge 2 \).

Уравнение примет вид: \( 3(y + 4) = 4(x - 2) + 12 \)

\( 3y + 12 = 4x - 8 + 12 \)

\( 3y = 4x - 8 \)

\( y = \frac{4x - 8}{3} \) при \( y \ge -4 \) и \( x \ge 2 \).

Случай 2: \( y + 4 < 0 \) и \( x - 2 \ge 0 \). Это означает \( y < -4 \) и \( x \ge 2 \).

Уравнение примет вид: \( -3(y + 4) = 4(x - 2) + 12 \)

\( -3y - 12 = 4x - 8 + 12 \)

\( -3y = 4x + 8 \)

\( y = -\frac{4x + 8}{3} \) при \( y < -4 \) и \( x \ge 2 \).

Случай 3: \( y + 4 \ge 0 \) и \( x - 2 < 0 \). Это означает \( y \ge -4 \) и \( x < 2 \).

Уравнение примет вид: \( 3(y + 4) = -4(x - 2) + 12 \)

\( 3y + 12 = -4x + 8 + 12 \)

\( 3y = -4x - 8 \)

\( y = \frac{-4x - 8}{3} \) при \( y \ge -4 \) и \( x < 2 \).

Случай 4: \( y + 4 < 0 \) и \( x - 2 < 0 \). Это означает \( y < -4 \) и \( x < 2 \).

Уравнение примет вид: \( -3(y + 4) = -4(x - 2) + 12 \)

\( -3y - 12 = -4x + 8 + 12 \)

\( -3y = -4x + 8 \)

\( y = \frac{4x - 8}{3} \) при \( y < -4 \) и \( x < 2 \).

Общее решение:

Решением уравнения является совокупность решений из всех четырёх случаев.

Ответ: Решением является множество точек \( (x, y) \), удовлетворяющих одному из следующих условий: \( y = \frac{4x - 8}{3} \) при \( x \ge 2 \) и \( y \ge -4 \); \( y = -\frac{4x + 8}{3} \) при \( x \ge 2 \) и \( y < -4 \); \( y = \frac{-4x - 8}{3} \) при \( x < 2 \) и \( y \ge -4 \); \( y = \frac{4x - 8}{3} \) при \( x < 2 \) и \( y < -4 \).