Solve the equation 4x^2 + 12x + 9 = (x - 4)^2.

Привет! Давай разберемся с этим уравнением шаг за шагом. Это задача по алгебре, поэтому будем использовать Протокол 3.1.

1. Раскрываем скобки:

Сначала раскроем скобку в правой части уравнения:

• \[ (x - 4)^2 = x^2 - 2 \times 4 \times x + 4^2 = x^2 - 8x + 16 \]

Теперь наше уравнение выглядит так:

• \[ 4x^2 + 12x + 9 = x^2 - 8x + 16 \]

2. Переносим все члены в левую часть:

Чтобы решить квадратное уравнение, нужно, чтобы справа был ноль. Перенесем все члены из правой части в левую, меняя знаки на противоположные:

• \[ 4x^2 + 12x + 9 - x^2 + 8x - 16 = 0 \]

3. Приводим подобные слагаемые:

Сгруппируем и сложим/вычтем похожие члены:

• \[ (4x^2 - x^2) + (12x + 8x) + (9 - 16) = 0 \]
• \[ 3x^2 + 20x - 7 = 0 \]

4. Решаем квадратное уравнение:

Получили стандартное квадратное уравнение вида $$ax^2 + bx + c = 0$$. Здесь $$a=3$$, $$b=20$$, $$c=-7$$. Для его решения будем использовать формулу дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$.

• \[ D = 20^2 - 4 \times 3 \times (-7) \]
• \[ D = 400 - (-84) \]
• \[ D = 400 + 84 \]
• \[ D = 484 \]

Теперь найдем корни уравнения по формуле:

• \[ x = \frac{-b ± \sqrt{D}}{2a} \]

5. Находим корни:

Вычислим первый корень ($$x_1$$):

• \[ x_1 = \frac{-20 + \sqrt{484}}{2 \times 3} \]
• \[ x_1 = \frac{-20 + 22}{6} \]
• \[ x_1 = \frac{2}{6} \]
• \[ x_1 = \frac{1}{3} \]

Вычислим второй корень ($$x_2$$):

• \[ x_2 = \frac{-20 - \sqrt{484}}{2 \times 3} \]
• \[ x_2 = \frac{-20 - 22}{6} \]
• \[ x_2 = \frac{-42}{6} \]
• \[ x_2 = -7 \]

Итоговый ответ:

У этого уравнения два корня.

Ответ: $$x_1 = \frac{1}{3}$$, $$x_2 = -7$$.