Solve the equation: |cos x + sin x| = √2 sin 2x

Решение:

Данное уравнение содержит абсолютное значение, поэтому рассмотрим два случая.

1. Случай 1: \( \cos x + \sin x \geq 0 \)

В этом случае уравнение примет вид: \( \cos x + \sin x = \sqrt{2} \sin 2x \).

Преобразуем левую часть: \( \cos x + \sin x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x \right) = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \cos x + \sin \frac{\pi}{4} \sin x \right) = \sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \).

Преобразуем правую часть: \( \sqrt{2} \sin 2x \).

Тогда уравнение становится: \( \sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin 2x \).

Делим обе части на \( \sqrt{2} \): \( \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = \sin 2x \).

Используем формулу \( \sin \alpha = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) \): \( \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right) \).

Отсюда следуют два варианта:

• Вариант 1.1: \( x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - 2x + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

\( 3x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k \)

\( 3x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \)

\( x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3} \).

• Вариант 1.2: \( x - \frac{\pi}{4} = -\left( \frac{\pi}{2} - 2x \right) + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

\( x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2x + 2\pi k \)

\( -x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k \)

\( -x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \)

\( x = \frac{\pi}{4} - 2\pi k \) (или \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n = -k \)).

Теперь нужно проверить условие \( \cos x + \sin x \geq 0 \). Это эквивалентно \( \sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \geq 0 \), то есть \( \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \geq 0 \).

Это означает, что \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi m \leq x - \frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi m \) для \( m \in \mathbb{Z} \).

\( -\frac{\pi}{4} + 2\pi m \leq x \leq \frac{3\pi}{4} + 2\pi m \).

Проверим корни из варианта 1.1: \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3} \).

• При \( k=0 \): \( x = \frac{\pi}{4} \). Это попадает в интервал [-\(\pi/4\), 3\(\pi/4\)].
• При \( k=1 \): \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi + 8\pi}{12} = \frac{11\pi}{12} \). Это не попадает в интервал [-\(\pi/4\), 3\(\pi/4\)].
• При \( k=-1 \): \( x = \frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi - 8\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12} \). Это попадает в интервал [-\(\pi/4\), 3\(\pi/4\)].

Проверим корни из варианта 1.2: \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \).

• При \( n=0 \): \( x = \frac{\pi}{4} \). Это попадает в интервал [-\(\pi/4\), 3\(\pi/4\)].

Таким образом, из первого случая получаем корни: \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3} \) (при \( k=0, -1 \)) и \( x = \frac{\pi}{4} \) (повторяется).

Итого из случая 1: \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3} \), где \( k ∈ ℤ \) и \( k ≠ 1 \) (и его аналоги для других периодов).

Более точно: \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3} \) при \( k ≠ 1 + 3m \) и \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \) при \( n ∈ ℤ \).

Упрощая, из случая 1 имеем: \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3} \) (с учётом условия \(\cos(x - \pi/4) \geq 0\)).
Важный момент: \( \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3} \) при \( k=0, 1, 2 \) дает \(\frac{\pi}{4}, \frac{11\pi}{12}, \frac{19\pi}{12}\). Интервал \( [-\pi/4, 3\pi/4] \) это \( [-0.785, 2.356] \). \(\pi/4 \approx 0.785\), \(11\pi/12 \approx 2.879\), \(19\pi/12 \approx 4.974\). Значит, \( x = \frac{\pi}{4} \) подходит. \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \) — подходит.

Корни из случая 1: \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3} \) (когда \( k \) такое, что \( -\frac{\pi}{4} + 2\pi m \leq \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3} \leq \frac{3\pi}{4} + 2\pi m \) ) и \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \).

2. Случай 2: \( \cos x + \sin x < 0 \)

В этом случае уравнение примет вид: \( -(\cos x + \sin x) = \sqrt{2} \sin 2x \).

\( -\sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin 2x \).

\( -\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = \sin 2x \).

\( \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = -\sin 2x \).

Используем формулу \( -\sin \alpha = \sin (-\alpha) = \cos \left( \frac{\pi}{2} - (-\alpha) \right) = \cos \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) \).

\( \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{2} + 2x \right) \).

Отсюда следуют два варианта:

• Вариант 2.1: \( x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2x + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

\( -x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k \)

\( -x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \)

\( x = -\frac{3\pi}{4} - 2\pi k \) (или \( x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \)).

• Вариант 2.2: \( x - \frac{\pi}{4} = -\left( \frac{\pi}{2} + 2x \right) + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

\( x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} - 2x + 2\pi k \)

\( 3x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k \)

\( 3x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \)

\( x = -\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3} \).

Теперь нужно проверить условие \( \cos x + \sin x < 0 \). Это эквивалентно \( \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) < 0 \).

Это означает, что \( \frac{\pi}{2} + 2\pi m < x - \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi m \) для \( m \in \mathbb{Z} \).

\( \frac{3\pi}{4} + 2\pi m < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi m \).

Проверим корни из варианта 2.1: \( x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \).

• При \( n=1 \): \( x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4} \). Это попадает в интервал \( (3\pi/4, 7\pi/4) \).

Проверим корни из варианта 2.2: \( x = -\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3} \).

• При \( k=1 \): \( x = -\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} = \frac{-\pi + 8\pi}{12} = \frac{7\pi}{12} \). Это не попадает в интервал \( (3\pi/4, 7\pi/4) \).
• При \( k=2 \): \( x = -\frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{3} = \frac{-\pi + 16\pi}{12} = \frac{15\pi}{12} = \frac{5\pi}{4} \). Это попадает в интервал \( (3\pi/4, 7\pi/4) \).
• При \( k=3 \): \( x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{23\pi}{12} \). Это попадает в интервал \( (3\pi/4, 7\pi/4) \).

Корни из случая 2: \( x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \) и \( x = -\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3} \) (для \( k=2, 3 \) и аналогично для других периодов).

Окончательное объединение корней:

Из случая 1: \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3} \) (условие \( \cos(x - \pi/4) \geq 0 \)).

Из случая 2: \( x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \) (из варианта 2.1, \( n=1 \)), \( x = \frac{5\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3} \) (из варианта 2.2, \( k=2 \)), \( x = \frac{23\pi}{12} \) (из варианта 2.2, \( k=3 \)).

Объединяя корни:

\( x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3} \) (при \( k \neq 1+3m \)) и \( x = \frac{5\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3} \) (при \( k=2, 3 \) и т.д. для второго случая)

Альтернативное решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\( (\cos x + \sin x)^2 = (\sqrt{2} \sin 2x)^2 \)

\( \cos^2 x + 2 \sin x \cos x + \sin^2 x = 2 \sin^2 2x \)

\( 1 + \sin 2x = 2 \sin^2 2x \)

Пусть \( y = \sin 2x \). Тогда \( 1 + y = 2y^2 \), или \( 2y^2 - y - 1 = 0 \).

Решим квадратное уравнение для \( y \):

\[ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4} \]

\( y_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 \) и \( y_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} \).

Случай А: \( \sin 2x = 1 \).

\( 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \) \(\implies\) \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \).

Проверим условие \( \cos x + \sin x = \sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4}) \geq 0 \).

Если \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), то \( x - \frac{\pi}{4} = \pi k \). \( \cos(\pi k) = (-1)^k \).

\( \sqrt{2} (-1)^k \geq 0 \). Это верно только при \( k \) — чётном. То есть \( k = 2m \).

\( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi m \).

Случай Б: \( \sin 2x = -\frac{1}{2} \).

\( 2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( 2x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \).

\( x = -\frac{\pi}{12} + \pi k \) или \( x = \frac{7\pi}{12} + \pi k \).

Проверим условие \( \cos x + \sin x = \sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4}) \).

Для \( x = -\frac{\pi}{12} + \pi k \): \( x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{12} + \pi k - \frac{3\pi}{12} = -\frac{4\pi}{12} + \pi k = -\frac{\pi}{3} + \pi k \).

\( \cos(-\frac{\pi}{3} + \pi k) \) = \( \cos(\frac{\pi}{3} - \pi k) \) = \( \cos(\frac{\pi}{3}) \cos(\pi k) + \sin(\frac{\pi}{3}) \sin(\pi k) = \frac{1}{2} (-1)^k \).

\( \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} (-1)^k \geq 0 \). Верно только при \( k \) — чётном. То есть \( k = 2m \).

\( x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi m \).

Для \( x = \frac{7\pi}{12} + \pi k \): \( x - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{12} + \pi k - \frac{3\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} + \pi k = \frac{\pi}{3} + \pi k \).

\( \cos(\frac{\pi}{3} + \pi k) \) = \( \cos(\frac{\pi}{3}) \cos(\pi k) - \sin(\frac{\pi}{3}) \sin(\pi k) = \frac{1}{2} (-1)^k \).

\( \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} (-1)^k \geq 0 \). Верно только при \( k \) — чётном. То есть \( k = 2m \).

\( x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi m \).

Объединяем корни: \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi m \), \( x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi m \), \( x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi m \).

Проверка корней:

\( x = \frac{\pi}{4} \): \( |\cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{4}| = |\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}| = |\sqrt{2}| = \sqrt{2} \). \( \sqrt{2} \sin(2\cdot\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{2}) = \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2} \). Верно.

\( x = -\frac{\pi}{12} \): \( \cos(-\frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{12}) = \cos(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \). \( \sin(-\frac{\pi}{12}) = -\sin(\frac{\pi}{12}) = -\sin(15^{\circ}) = -\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \).

\( \cos x + \sin x = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Это \( < 0 \) неверно. Значит, \( x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi m \) не подходит.

\( x = \frac{7\pi}{12} \): \( \cos(\frac{7\pi}{12}) = \cos(105^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} \). \( \sin(\frac{7\pi}{12}) = \sin(105^{\circ}) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \).

\( \cos x + \sin x = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Это \( < 0 \) неверно. Значит, \( x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi m \) не подходит.

Перепроверка:

\( \sin 2x = -1/2 \)

\( 2x = \arcsin(-1/2) + 2\pi k = -\pi/6 + 2\pi k \) или \( 2x = \pi - \arcsin(-1/2) + 2\pi k = \pi - (-\pi/6) + 2\pi k = 7\pi/6 + 2\pi k \).

\( x = -\pi/12 + \pi k \) или \( x = 7\pi/12 + \pi k \).

Условие: \( \cos x + \sin x < 0 \).

\( \sqrt{2} \cos(x - \pi/4) < 0 \).

\( \cos(x - \pi/4) < 0 \).

\( x - \pi/4 \in (\pi/2 + 2\pi m, 3\pi/2 + 2\pi m) \).

\( x \in (3\pi/4 + 2\pi m, 7\pi/4 + 2\pi m) \).

Рассмотрим \( x = -\pi/12 + \pi k \):

k=0: \( x = -\pi/12 \) (вне интервала)

k=1: \( x = 11\pi/12 \) (вне интервала)

k=2: \( x = 23\pi/12 \) (в интервале)

Рассмотрим \( x = 7\pi/12 + \pi k \):

k=0: \( x = 7\pi/12 \) (вне интервала)

k=1: \( x = 19\pi/12 \) (в интервале)

k=2: \( x = 31\pi/12 \) (вне интервала)

Значит, корни из второй ветви: \( x = 23\pi/12 + 2\pi m \) и \( x = 19\pi/12 + 2\pi m \).

Итоговые корни:

\( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi m \) (из \( \sin 2x = 1 \) и \( k \) чётное)

\( x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi m \) (из \( \sin 2x = -1/2 \) и \( k \) чётное, но проверка показала, что не подходит)

\( x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi m \) (из \( \sin 2x = -1/2 \) и \( k \) чётное, но проверка показала, что не подходит)

Правильные корни:

\( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi m \) (подходит)

\( x = 23\pi/12 + 2\pi m \) (подходит)

\( x = 19\pi/12 + 2\pi m \) (подходит)

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi m \), \( x = \frac{19\pi}{12} + 2\pi m \), \( x = \frac{23\pi}{12} + 2\pi m \), где \( m \in \mathbb{Z} \).