Solve the equation: \(\frac{48}{x+5} + \frac{48}{x-5} = 4\)

Решение:

Чтобы решить данное уравнение, приведём дроби к общему знаменателю \( (x+5)(x-5) \).

1. Умножим обе части уравнения на \( (x+5)(x-5) \), чтобы избавиться от знаменателей. При этом \( x \neq 5 \) и \( x \neq -5 \).
2. \( 48(x-5) + 48(x+5) = 4(x+5)(x-5) \)
3. Раскроем скобки:
4. \( 48x - 240 + 48x + 240 = 4(x^2 - 25) \)
5. Упростим левую часть:
6. \( 96x = 4(x^2 - 25) \)
7. Разделим обе части на 4:
8. \( 24x = x^2 - 25 \)
9. Перенесём все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
10. \( x^2 - 24x - 25 = 0 \)
11. Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант:
12. \( D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4(1)(-25) = 576 + 100 = 676 \)
13. \( \sqrt{D} = \sqrt{676} = 26 \)
14. Найдем корни уравнения:
15. \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)
16. \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
17. Проверим, что полученные корни не равны \( 5 \) или \( -5 \). \( 25 \neq 5 \), \( 25 \neq -5 \), \( -1 \neq 5 \), \( -1 \neq -5 \). Оба корня подходят.

Ответ: x₁ = 25, x₂ = -1.