Solve the equation: \(\frac{5\cos 2x + 11\cos x + 8}{25\sin^2 x - 16} = 0\)

Решение:

Чтобы дробь равнялась нулю, числитель должен равняться нулю, а знаменатель — не равняться нулю.

1. Приравняем числитель к нулю:
   \( 5\cos 2x + 11\cos x + 8 = 0 \)
   Используем формулу косинуса двойного угла \( \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \):
   \( 5(2\cos^2 x - 1) + 11\cos x + 8 = 0 \)
   \( 10\cos^2 x - 5 + 11\cos x + 8 = 0 \)
   \( 10\cos^2 x + 11\cos x + 3 = 0 \)
   Сделаем замену: пусть \( t = \cos x \). Тогда:
   \( 10t^2 + 11t + 3 = 0 \)
   Найдём дискриминант: \( D = 11^2 - 4 \cdot 10 \cdot 3 = 121 - 120 = 1 \)
   Корни квадратного уравнения:
   \( t_1 = \frac{-11 + 1}{2 \cdot 10} = \frac{-10}{20} = -0.5 \)
   \( t_2 = \frac{-11 - 1}{2 \cdot 10} = \frac{-12}{20} = -0.6 \)
   Значит, \( \cos x = -0.5 \) или \( \cos x = -0.6 \).
2. Проверим знаменатель:
   \( 25\sin^2 x - 16 \neq 0 \)
   \( 25\sin^2 x \neq 16 \)
   \( \sin^2 x \neq \frac{16}{25} \)
   \( \sin x \neq \pm \frac{4}{5} \)
   Это означает, что \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \neq 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \).
   Следовательно, \( \cos x \neq \pm \frac{3}{5} \) (т.е. \( \cos x \neq \pm 0.6 \)).
3. Сопоставим результаты:
   Нам подходит только \( \cos x = -0.5 \), так как \( \cos x = -0.6 \) обращает знаменатель в ноль.
4. Найдём значения x:
   Из \( \cos x = -0.5 \) следует, что \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Ответ: \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).