Solve the equation: $$ \frac{5x - 7}{x - 3} = \frac{4x - 3}{x} $$

Решение:

1. Для начала, чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель, которым является произведение \( (x-3) \) и \( x \). При этом важно помнить, что \( x \neq 3 \) и \( x \neq 0 \).
2. Умножаем левую часть: \( \frac{5x - 7}{x - 3} \cdot (x - 3)x = (5x - 7)x \)
3. Умножаем правую часть: \( \frac{4x - 3}{x} \cdot (x - 3)x = (4x - 3)(x - 3) \)
4. Теперь у нас получилось уравнение без дробей: \( (5x - 7)x = (4x - 3)(x - 3) \)
5. Раскроем скобки: \( 5x^2 - 7x = 4x^2 - 12x - 3x + 9 \)
6. Приведём подобные слагаемые: \( 5x^2 - 7x = 4x^2 - 15x + 9 \)
7. Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \): \( 5x^2 - 4x^2 - 7x + 15x - 9 = 0 \)
8. Упростим: \( x^2 + 8x - 9 = 0 \)
9. Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета: сумма корней равна \( -8 \), произведение — \( -9 \). Подбираем числа: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -9 \).
10. Проверим, не равны ли найденные корни \( 3 \) или \( 0 \). Оба корня \( 1 \) и \( -9 \) не равны \( 3 \) и \( 0 \), значит, они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: x₁ = 1, x₂ = -9.