Solve the equation: \(\frac{6\cos^2 x - 15\sin x + 3}{4\cos x - 2\sqrt{3}} = 0\)

Решение:

Для того чтобы дробь равнялась нулю, необходимо, чтобы числитель равнялся нулю, а знаменатель не равнялся нулю.

1. Приравняем числитель к нулю: \( 6\cos^2 x - 15\sin x + 3 = 0 \).
2. Заменим \( \cos^2 x \) на \( 1 - \sin^2 x \) (основное тригонометрическое тождество):
   \( 6(1 - \sin^2 x) - 15\sin x + 3 = 0 \)
   \( 6 - 6\sin^2 x - 15\sin x + 3 = 0 \)
   \( -6\sin^2 x - 15\sin x + 9 = 0 \).
3. Умножим всё уравнение на \(-1\) для удобства:
   \( 6\sin^2 x + 15\sin x - 9 = 0 \).
4. Разделим всё на \(3\):
   \( 2\sin^2 x + 5\sin x - 3 = 0 \).
5. Сделаем замену переменной: пусть \( t = \sin x \). Тогда получаем квадратное уравнение:
   \( 2t^2 + 5t - 3 = 0 \).
6. Решим квадратное уравнение через дискриминант:
   \( D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \).
   \( \sqrt{D} = 7 \).
7. Найдем корни для \( t \):
   \( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).
   \( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3 \).
8. Вернемся к замене: \( \sin x = t \).
   * \( \sin x = \frac{1}{2} \). Решения: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) и \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.
   * \( \sin x = -3 \). Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса находится в диапазоне \( [-1, 1] \).
9. Теперь проверим знаменатель: \( 4\cos x - 2\sqrt{3} \neq 0 \).
   \( 4\cos x \neq 2\sqrt{3} \)
   \( \cos x \neq \frac{2\sqrt{3}}{4} \)
   \( \cos x \neq \frac{\sqrt{3}}{2} \).
10. Проверим, для каких из найденных значений \( x \) выполняется условие \( \cos x \neq \frac{\sqrt{3}}{2} \):
    * Для \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \): \( \cos(\frac{\pi}{6} + 2\pi n) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Это значение недопустимо.
    * Для \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \): \( \cos(\frac{5\pi}{6} + 2\pi n) = \cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \). Это значение допустимо, так как \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).