Solve the equation: \(\frac{x-2}{x+3} - \frac{30}{x^2-9} = \frac{1}{6}\)

Привет! Давай решим это уравнение вместе. Оно выглядит немного страшно, но на самом деле всё проще, чем кажется.

Шаг 1: Приведем знаменатели к общему виду.

Заметим, что \[ x^2-9 = (x-3)(x+3) \]. Это разность квадратов, помнишь такую?

Теперь наше уравнение выглядит так:

\[ \frac{x-2}{x+3} - \frac{30}{(x-3)(x+3)} = \frac{1}{6} \]

Шаг 2: Найдём общий знаменатель.

Общий знаменатель для всех дробей — это \[ 6(x+3)(x-3) \]. Перед тем как начать умножать, запишем ограничения: \[ x \neq -3 \text{ и } x \neq 3 \], потому что на ноль делить нельзя!

Шаг 3: Умножим всё на общий знаменатель.

Умножим каждую часть уравнения на \[ 6(x+3)(x-3) \]:

\[ \frac{x-2}{x+3} \cdot 6(x+3)(x-3) - \frac{30}{(x-3)(x+3)} \cdot 6(x+3)(x-3) = \frac{1}{6} \cdot 6(x+3)(x-3) \]

Сокращаем дроби:

\[ 6(x-2)(x-3) - 30 \cdot 6 = (x+3)(x-3) \]

Шаг 4: Раскроем скобки и упростим.

Сначала раскроем первые скобки:

\[ 6(x^2 - 3x - 2x + 6) - 30 = x^2 - 9 \]

\[ 6(x^2 - 5x + 6) - 30 = x^2 - 9 \]

\[ 6x^2 - 30x + 36 - 30 = x^2 - 9 \]

Теперь перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 6x^2 - x^2 - 30x + 36 - 30 + 9 = 0 \]

\[ 5x^2 - 30x + 15 = 0 \]

Шаг 5: Решим квадратное уравнение.

Можно разделить всё на 5, чтобы было проще:

\[ x^2 - 6x + 3 = 0 \]

Используем формулу для корней квадратного уравнения \[ x = \frac{-b \cdot √{b^2-4ac}}{2a} \], где \[ a=1, b=-6, c=3 \].

Дискриминант \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 36 - 12 = 24 \].

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{6 + √{24}}{2} = \frac{6 + 2√{6}}{2} = 3 + √{6} \]

\[ x_2 = \frac{6 - √{24}}{2} = \frac{6 - 2√{6}}{2} = 3 - √{6} \]

Шаг 6: Проверим корни.

Мы помним, что \[ x \neq -3 \text{ и } x \neq 3 \]. Наши корни \[ 3 + √{6} \] и \[ 3 - √{6} \] не равны 3 и -3. Значит, оба корня подходят.

Ответ:

Ответ: \[ x = 3 \cdot √{6} \]