Solve the equation: \( \sin(\frac{x}{3} + 1) = -1 \)

Решение:

Чтобы решить уравнение \( \sin(\frac{x}{3} + 1) = -1 \), нужно найти значение аргумента синуса, при котором он равен -1. Известно, что \( \sin(\alpha) = -1 \) при \( \alpha = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

1. Приравняем аргумент синуса к этому значению: \( \frac{x}{3} + 1 = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \)
2. Вычтем 1 из обеих частей уравнения: \( \frac{x}{3} = \frac{3\pi}{2} - 1 + 2\pi n \)
3. Умножим обе части уравнения на 3: \( x = 3(\frac{3\pi}{2} - 1 + 2\pi n) \)
4. Раскроем скобки: \( x = \frac{9\pi}{2} - 3 + 6\pi n \)

Ответ: \( x = \frac{9\pi}{2} - 3 + 6\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).