Solve the equation: \(\sqrt{3}\sin{2x} + 3\cos{2x} = 0\)

Решение:

1. Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
2. Перенесём слагаемое с синусом в правую часть: \( 3\cos{2x} = -\sqrt{3}\sin{2x} \).
3. Разделим обе части уравнения на \( \cos{2x} \) (предполагая, что \( \cos{2x} \neq 0 \) ): \( 3 = -\sqrt{3}\frac{\sin{2x}}{\cos{2x}} \).
4. Упростим: \( 3 = -\sqrt{3}\tan{2x} \).
5. Выразим \( \tan{2x} \): \( \tan{2x} = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3} \).
6. Найдём значение \( 2x \): \( 2x = \arctan{\left(-\sqrt{3}\right)} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
7. Известно, что \( \arctan{\left(-\sqrt{3}\right)} = -\frac{\pi}{3} \).
8. Получим: \( 2x = -\frac{\pi}{3} + \pi n \).
9. Разделим обе части на 2, чтобы найти \( x \): \( x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
10. Проверим, не равно ли \( \cos{2x} \) нулю при найденных значениях \( x \). Если \( \cos{2x} = 0 \), то \( 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \). Так как \( -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} \) никогда не совпадает с \( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \), то \( \cos{2x} \neq 0 \).

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).