Solve the equation: \(\sqrt{33-3x} = x\)

Привет! Давай разберемся с этим уравнением вместе. Оно выглядит как \(\sqrt{33-3x} = x\).

Что нужно сделать:

1. Возвести обе части в квадрат: Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат. Помни, что при этом может появиться «лишнее» решение, поэтому потом обязательно проверим.
2. Решить квадратное уравнение: Получим обычное квадратное уравнение и решим его.
3. Проверить корни: Подставим найденные значения x в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они верные.

Шаг 1: Возводим в квадрат

Из уравнения \(\sqrt{33-3x} = x\) получаем:

\[ (\sqrt{33-3x})^2 = x^2 \]\[ 33 - 3x = x^2 \]

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[ x^2 + 3x - 33 = 0 \]

Теперь найдем дискриминант (\(D\)) по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -33\).

\[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-33) \]\[ D = 9 + 132 \]\[ D = 141 \]

Так как \(D > 0\), у нас будет два действительных корня.

Найдем корни по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):

\[ x_1 = \frac{-3 - \sqrt{141}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - \sqrt{141}}{2} \]\[ x_2 = \frac{-3 + \sqrt{141}}{2} \]

Шаг 3: Проверяем корни

Изначально у нас было условие, что \(x \ge 0\) (потому что \(x\) стоит под корнем и равно квадратному корню, который всегда неотрицателен). Давайте проверим наши корни:

1. Проверяем \(x_1 = \frac{-3 - \sqrt{141}}{2}\):

Так как \(\sqrt{141}\) — это положительное число (примерно 11.87), то \(-3 - \sqrt{141}\) будет отрицательным числом. Следовательно, \(x_1\) отрицательный. Этот корень нам не подходит, потому что \(x\) не может быть отрицательным в исходном уравнении.

2. Проверяем \(x_2 = \frac{-3 + \sqrt{141}}{2}\):

\(\sqrt{141}\) примерно равно 11.87. Тогда \(-3 + 11.87 = 8.87\). И \(x_2 \approx \frac{8.87}{2} \approx 4.435\). Это число положительное, так что оно может быть решением.

Подставим \(x_2\) в исходное уравнение \(\sqrt{33-3x} = x\) (для точности будем использовать \(x_2 = \frac{-3 + \sqrt{141}}{2}\) ):

\[ \sqrt{33 - 3 \cdot \left(\frac{-3 + \sqrt{141}}{2}\right)} = \frac{-3 + \sqrt{141}}{2} \]\[ \sqrt{33 - \frac{-9 + 3\sqrt{141}}{2}} = \frac{-3 + \sqrt{141}}{2} \]\[ \sqrt{\frac{66 - (-9 + 3\sqrt{141})}{2}} = \frac{-3 + \sqrt{141}}{2} \]\[ \sqrt{\frac{66 + 9 - 3\sqrt{141}}{2}} = \frac{-3 + \sqrt{141}}{2} \]\[ \sqrt{\frac{75 - 3\sqrt{141}}{2}} = \frac{-3 + \sqrt{141}}{2} \]

Кажется, что проверка сложная. Давай подумаем иначе. Нам нужно, чтобы \(x \ge 0\). Мы уже выяснили, что \(x_1\) отрицательный, а \(x_2\) положительный. Поэтому \(x_2\) — это и есть наш корень.

Ответ: \[ x = \frac{-3 + \sqrt{141}}{2} \]