Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаSolve the equation: \(\sqrt{x-2+\sqrt{2x-5}} + \sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}} = 7\sqrt{2}\)
Ответ:
Решение:
Для решения этого уравнения, преобразуем выражения под корнями, пытаясь представить их в виде квадрата суммы или разности.
Рассмотрим выражение под первым корнем: \[ \sqrt{x-2+\sqrt{2x-5}} \]
Мы хотим найти два числа, сумма которых равна x-2, а произведение квадратов равно 2x-5. Это не всегда очевидно. Попробуем другую стратегию: заменим √(2x-5) на y, тогда y² = 2x-5, и 2x = y² + 5, x = (y²+5)/2.
Подставим это в исходное уравнение:
\[ \sqrt{\frac{y^2+5}{2}-2+y} + \sqrt{\frac{y^2+5}{2}+2+3y} = 7\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{\frac{y^2+5-4+2y}{2}} + \sqrt{\frac{y^2+5+4+6y}{2}} = 7\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{\frac{y^2+2y+1}{2}} + \sqrt{\frac{y^2+6y+9}{2}} = 7\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{\frac{(y+1)^2}{2}} + \sqrt{\frac{(y+3)^2}{2}} = 7\sqrt{2} \]
\[ \frac{|y+1|}{\sqrt{2}} + \frac{|y+3|}{\sqrt{2}} = 7\sqrt{2} \]
Поскольку y = √(2x-5), то y ≥ 0. Следовательно, y+1 > 0 и y+3 > 0.
\[ \frac{y+1}{\sqrt{2}} + \frac{y+3}{\sqrt{2}} = 7\sqrt{2} \]
Умножим обе части на √2:
\[ (y+1) + (y+3) = 7\sqrt{2} \times \sqrt{2} \]
\[ 2y + 4 = 7 \times 2 \]
\[ 2y + 4 = 14 \]
\[ 2y = 10 \]
\[ y = 5 \]
Теперь найдем x, используя y = √(2x-5):
\[ 5 = \sqrt{2x-5} \]
Возведем обе части в квадрат:
\[ 5^2 = 2x-5 \]
\[ 25 = 2x-5 \]
\[ 2x = 30 \]
\[ x = 15 \]
Проверка:
Подставим x = 15 в исходное уравнение:
√(15 - 2 + √(2*15 - 5)) + √(15 + 2 + 3*√(2*15 - 5)) = √(13 + √(25)) + √(17 + 3*√(25))
= √(13 + 5) + √(17 + 3*5) = √(18) + √(17 + 15) = √(18) + √(32)
= √(9*2) + √(16*2) = 3√2 + 4√2 = 7√2.
Равенство выполняется.
Ответ: x = 15
