Solve the equation: \(\sqrt{x + 4!} + \sqrt{x} = 12\)

Решение:

Дано уравнение: \( \sqrt{x + 4!} + \sqrt{x} = 12 \).

1. Сначала вычислим значение факториала: \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \).
2. Подставим значение факториала в уравнение: \( \sqrt{x + 24} + \sqrt{x} = 12 \).
3. Перенесём \( \sqrt{x} \) в правую часть: \( \sqrt{x + 24} = 12 - \sqrt{x} \).
4. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{x + 24})^2 = (12 - \sqrt{x})^2 \).
5. Раскроем скобки: \( x + 24 = 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot \sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 \).
6. Упростим: \( x + 24 = 144 - 24\sqrt{x} + x \).
7. Сократим \( x \) в обеих частях: \( 24 = 144 - 24\sqrt{x} \).
8. Перенесём 144 в левую часть: \( 24 - 144 = -24\sqrt{x} \).
9. Вычислим: \( -120 = -24\sqrt{x} \).
10. Разделим обе части на -24: \( \frac{-120}{-24} = \sqrt{x} \).
11. Получим: \( 5 = \sqrt{x} \).
12. Возведём обе части в квадрат: \( 5^2 = (\sqrt{x})^2 \).
13. Найдем значение \( x \): \( 25 = x \).
14. Проверим решение, подставив \( x = 25 \) в исходное уравнение: \( \sqrt{25 + 24} + \sqrt{25} = \sqrt{49} + 5 = 7 + 5 = 12 \). Решение верное.

Ответ: x = 25.