Solve the equation: |x - 16| + |11 - 99| + |x - 51| = 301

Решение:

Уравнение содержит модули. Раскроем модули, учитывая их определения.

Выражение |11 - 99| = |-88| = 88.

Теперь исходное уравнение выглядит так: \( |x - 16| + 88 + |x - 51| = 301 \)

Перенесём 88 в правую часть: \( |x - 16| + |x - 51| = 301 - 88 \)

\( |x - 16| + |x - 51| = 213 \)

Рассмотрим случаи раскрытия модулей:

1. Случай 1: x < 16
   Тогда \( x - 16 < 0 \) и \( x - 51 < 0 \).
   Модули раскрываются со сменой знака: \( -(x - 16) - (x - 51) = 213 \)
   \( -x + 16 - x + 51 = 213 \)
   \( -2x + 67 = 213 \)
   \( -2x = 213 - 67 \)
   \( -2x = 146 \)
   \( x = -73 \)
   Проверка условия: \( -73 < 16 \) — верно.
2. Случай 2: 16 ≤ x ≤ 51
   Тогда \( x - 16 ≥ 0 \) и \( x - 51 ≤ 0 \).
   Модули раскрываются: \( (x - 16) - (x - 51) = 213 \)
   \( x - 16 - x + 51 = 213 \)
   \( 35 = 213 \)
   Это равенство неверно, следовательно, в этом интервале решений нет.
3. Случай 3: x > 51
   Тогда \( x - 16 > 0 \) и \( x - 51 > 0 \).
   Модули раскрываются без смены знака: \( (x - 16) + (x - 51) = 213 \)
   \( x - 16 + x - 51 = 213 \)
   \( 2x - 67 = 213 \)
   \( 2x = 213 + 67 \)
   \( 2x = 280 \)
   \( x = 140 \)
   Проверка условия: \( 140 > 51 \) — верно.

Ответ: x = -73, x = 140.