Solve the expression: (3 4/15 * 13 11/18 * 23 23/35 * 19 17/49) / (22 3/25 * 3 16/11 * 5 25/27 * 4 7/32) : (7 1/5 * 1/24)

Решение:

• Переведем смешанные дроби в неправильные:
  • $$3 \frac{4}{15} = \frac{3 \times 15 + 4}{15} = \frac{49}{15}$$
  • $$13 \frac{11}{18} = \frac{13 \times 18 + 11}{18} = \frac{245}{18}$$
  • $$23 \frac{23}{35} = \frac{23 \times 35 + 23}{35} = \frac{828}{35}$$
  • $$19 \frac{17}{49} = \frac{19 \times 49 + 17}{49} = \frac{950}{49}$$
  • $$22 \frac{3}{25} = \frac{22 \times 25 + 3}{25} = \frac{553}{25}$$
  • $$3 \frac{16}{11} = \frac{3 \times 11 + 16}{11} = \frac{49}{11}$$
  • $$5 \frac{25}{27} = \frac{5 \times 27 + 25}{27} = \frac{160}{27}$$
  • $$4 \frac{7}{32} = \frac{4 \times 32 + 7}{32} = \frac{135}{32}$$
  • $$7 \frac{1}{5} = \frac{7 \times 5 + 1}{5} = \frac{36}{5}$$
• Подставим неправильные дроби в исходное выражение:
  • $$(\frac{49}{15} \cdot \frac{245}{18} \cdot \frac{828}{35} \cdot \frac{950}{49}) / (\frac{553}{25} \cdot \frac{49}{11} \cdot \frac{160}{27} \cdot \frac{135}{32}) : (\frac{36}{5} \cdot \frac{1}{24})$$
• Упростим числитель и знаменатель первой дроби:
  • Числитель: $$49 \cdot 245 \cdot 828 \cdot 950 = 9707001000$$
  • Знаменатель: $$15 \cdot 18 \cdot 35 \cdot 49 = 4500450$$
  • Первая дробь: $$\frac{9707001000}{4500450} = \frac{2156676}{10001}$$ (после сокращения на 450)
• Упростим вторую дробь:
  • Числитель: $$553 \cdot 49 \cdot 160 \cdot 135 = 579868800$$
  • Знаменатель: $$25 \cdot 11 \cdot 27 \cdot 32 = 237600$$
  • Вторая дробь: $$\frac{579868800}{237600} = \frac{702917}{288}$$ (после сокращения на 800)
• Упростим третью дробь:
  • $$\frac{36}{5} \cdot \frac{1}{24} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10}$$
• Теперь подставим упрощенные значения обратно:
  • $$(\frac{2156676}{10001}) / (\frac{702917}{288}) : (\frac{3}{10})$$
• Деление дробей заменяем умножением на обратную дробь:
  • $$(\frac{2156676}{10001} \cdot \frac{288}{702917}) : \frac{3}{10}$$
• Выполним умножение:
  • $$\frac{621122688}{7030717} : \frac{3}{10}$$
• Выполним деление:
  • $$\frac{621122688}{7030717} \cdot \frac{10}{3} = \frac{6211226880}{21092151}$$
• Сократим полученную дробь:
  • $$\frac{6211226880}{21092151} = \frac{68797954.22}{234357.23}$$ (Приблизительно)
  • Упрощая, заметим, что многие числа взаимно сокращаются. Более точный расчет:
    • $$(\frac{49}{15} \cdot \frac{245}{18} \cdot \frac{828}{35} \cdot \frac{950}{49}) = \frac{49 \cdot (5 \cdot 49) \cdot (18 \cdot 46 \cdot 1) \cdot (25 \cdot 38)}{15 \cdot 18 \cdot 35 \cdot 49} = \frac{49 \cdot 5 \cdot 49 \cdot 18 \cdot 46 \cdot 25 \cdot 38}{15 \cdot 18 \cdot 35 \cdot 49} = \frac{5 \cdot 49 \cdot 46 \cdot 25 \cdot 38}{15 \cdot 35} = \frac{1 \cdot 49 \cdot 46 \cdot 5 \cdot 38}{3 \cdot 7} = \frac{7 \cdot 46 \cdot 5 \cdot 38}{3} = \frac{155780}{3}$$
    • $$(\frac{553}{25} \cdot \frac{49}{11} \cdot \frac{160}{27} \cdot \frac{135}{32}) = \frac{(7 \cdot 79)}{25} \cdot \frac{49}{11} \cdot \frac{(32 \cdot 5)}{27} \cdot \frac{(27 \cdot 5)}{32} = \frac{7 \cdot 79 \cdot 49 \cdot 5 \cdot 5}{25} = 7 \cdot 79 \cdot 49 \cdot 5 = 1351165$$
    • $$(\frac{36}{5} \cdot \frac{1}{24}) = \frac{36}{120} = \frac{3}{10}$$
    • $$(\frac{155780}{3}) / (1351165) : (\frac{3}{10})$$
    • $$(\frac{155780}{3} \cdot \frac{1}{1351165}) : \frac{3}{10}$$
    • $$(\frac{155780}{4053495}) : \frac{3}{10}$$
    • $$(\frac{155780}{4053495} \cdot \frac{10}{3}) = \frac{1557800}{12160485}$$
    • Сокращаем на 5: $$\frac{311560}{2432097}$$
  • Дальнейшее сокращение невозможно, так как 2432097 не делится на 3, 7, 10, 38, 46, 79, 155780.

  Ответ: $$\frac{311560}{2432097}$$