Solve the following equations or inequalities.

Решение:

1. \( \sqrt{x+7} + \sqrt{x-2} = 9 \)
   Возведём обе части уравнения в квадрат:
   \( (\sqrt{x+7} + \sqrt{x-2})^2 = 9^2 \)
   \( x+7 + 2\sqrt{(x+7)(x-2)} + x-2 = 81 \)
   \( 2x+5 + 2\sqrt{x^2+5x-14} = 81 \)
   \( 2\sqrt{x^2+5x-14} = 76 - 2x \)
   \( \sqrt{x^2+5x-14} = 38 - x \)
   Снова возведём в квадрат:
   \( x^2+5x-14 = (38-x)^2 \)
   \( x^2+5x-14 = 1444 - 76x + x^2 \)
   \( 5x-14 = 1444 - 76x \)
   \( 5x + 76x = 1444 + 14 \)
   \( 81x = 1458 \)
   \( x = \frac{1458}{81} = 18 \)
   Проверка: \( \sqrt{18+7} + \sqrt{18-2} = \sqrt{25} + \sqrt{16} = 5 + 4 = 9 \). Условие \( 38-x \ge 0 \) выполняется: \( 38-18=20 \ge 0 \).
   
2. \( \log_5 \frac{25}{x} + \log_5 \sqrt{5x} = 2 \)
   \( \log_5 25 - \log_5 x + \log_5 (5x)^{1/2} = 2 \)
   \( 2 - \log_5 x + \frac{1}{2} \log_5 (5x) = 2 \)
   \( - \log_5 x + \frac{1}{2} (\log_5 5 + \log_5 x) = 0 \)
   \( - \log_5 x + \frac{1}{2} (1 + \log_5 x) = 0 \)
   \( -2\log_5 x + 1 + \log_5 x = 0 \)
   \( -\log_5 x = -1 \)
   \( \log_5 x = 1 \)
   \( x = 5^1 = 5 \)
   Проверка: \( \log_5 \frac{25}{5} + \log_5 \sqrt{5 · 5} = \log_5 5 + \log_5 \sqrt{25} = 1 + \log_5 5 = 1 + 1 = 2 \).
3. \( \sin^2 x + \cos^2 2x + \cos x · \mathrm{tg} x = 1 \)
   \( \sin^2 x + (1 - 2\sin^2 x) + \cos x · \frac{\sin x}{\cos x} = 1 \)
   \( \sin^2 x + 1 - 2\sin^2 x + \sin x = 1 \)
   \( 1 - \sin^2 x + \sin x = 1 \)
   \( -\sin^2 x + \sin x = 0 \)
   \( \sin x (1 - \sin x) = 0 \)
   Следовательно, \( \sin x = 0 \) или \( \sin x = 1 \).
   Если \( \sin x = 0 \), то \( x = \pi k \), где \( k ∈ ℤ \).
   Если \( \sin x = 1 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n ∈ ℤ \).
   Также нужно учесть, что \( \mathrm{tg} x \) определен, значит \( \cos x
   e 0 \), что исключает \( x = \frac{\pi}{2} + \pi m \) из решений, но такие значения не получены.
   
4. \( \[ \log_5 (1-x) \le 2 \] \)
   Условие существования логарифма: \( 1-x > 0 \) \( \Rightarrow x < 1 \).
   \( 1-x \le 5^2 \)
   \( 1-x \le 25 \)
   \( -x \le 24 \)
   \( x ≥ -24 \)
   Объединяем условия: \( -24 \le x < 1 \).

Ответ: 1) \( x=18 \); 2) \( x=5 \); 3) \( x = \pi k \) или \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( k, n ∈ ℤ \); 4) \( [-24; 1) \).