Solve the following expression: 8) \(\frac\){3^{-1} - \(\frac{2}{3}\)^{-2}}{2 - \(\frac{3}{4}\)^{2}} - \(5^0 - \frac{1}{6}\)^{-1} + 2 \(\cdot\) 10^{-1};

Решение:

Задание представляет собой выражение с дробями, степенями и арифметическими операциями. Последовательно вычислим значения каждого компонента.

1. Вычислим числитель первой дроби:
   \( 3^{-1} = \frac{1}{3} \)
   \( (\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} \)
   \( 3^{-1} - (\frac{2}{3})^{-2} = \frac{1}{3} - \frac{9}{4} = \frac{4 - 27}{12} = -\frac{23}{12} \)
2. Вычислим знаменатель первой дроби:
   \( (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16} \)
   \( 2 - (\frac{3}{4})^2 = 2 - \frac{9}{16} = \frac{32 - 9}{16} = \frac{23}{16} \)
3. Разделим числитель на знаменатель:
   \( \frac{-23/12}{23/16} = -\frac{23}{12} \cdot \frac{16}{23} = -\frac{16}{12} = -\frac{4}{3} \)
4. Вычислим вторую часть выражения:
   \( 5^0 = 1 \)
   \( 5^0 - \frac{1}{6} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{6 - 1}{6} = \frac{5}{6} \)
   \( (5^0 - \frac{1}{6})^{-1} = (\frac{5}{6})^{-1} = \frac{6}{5} \)
5. Вычислим третью часть выражения:
   \( 2 \cdot 10^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \)
6. Объединим все части:
   \( -\frac{4}{3} - \frac{6}{5} + \frac{1}{5} = -\frac{4}{3} - \frac{5}{5} = -\frac{4}{3} - 1 \)
   \( -\frac{4}{3} - 1 = -\frac{4}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{7}{3} \)

Ответ: -\(\frac{7}{3}\).