Solve the following expression: \(\frac{3}{5} : \left( \frac{9}{10} - \frac{3}{5} \cdot \frac{8}{9} \right) ;\)

Решение:

1. Сначала вычислим произведение в скобках: \( \frac{3}{5} \cdot \frac{8}{9} = \frac{3 \cdot 8}{5 \cdot 9} = \frac{24}{45} \). Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: \( \frac{24}{45} = \frac{8}{15} \).
2. Теперь выполним вычитание в скобках: \( \frac{9}{10} - \frac{8}{15} \). Приведём дроби к общему знаменателю 30: \( \frac{9}{10} = \frac{9 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{27}{30} \), \( \frac{8}{15} = \frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{16}{30} \). Тогда: \( \frac{27}{30} - \frac{16}{30} = \frac{11}{30} \).
3. Наконец, выполним деление: \( \frac{3}{5} : \frac{11}{30} \). Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь: \( \frac{3}{5} \cdot \frac{30}{11} = \frac{3 \cdot 30}{5 \cdot 11} = \frac{90}{55} \).
4. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5: \( \frac{90}{55} = \frac{18}{11} \).

Ответ: \( \frac{18}{11} \).