Solve the following geometry problems. For the first problem, given that \(\angle 1 - \angle 2 = 26^{\circ}\) and the provided image, find the values of \(\angle 1\) and \(\angle 2\). For the second problem, given that \(\angle 1 : \angle 2 = 3 : 1\) and the provided image, find the values of \(\angle 1\) and \(\angle 2\).

Задача 1:

Дано: \( \angle 1 - \angle 2 = 26^{\circ} \)

На рисунке видно, что \(\angle 1\) и \(\angle 2\) являются смежными углами, поэтому их сумма равна \( 180^{\circ} \).

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} \angle 1 - \angle 2 = 26^{\circ} \\ \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \end{cases} \)

Сложим оба уравнения:

\( (\angle 1 - \angle 2) + (\angle 1 + \angle 2) = 26^{\circ} + 180^{\circ} \)

\( 2\angle 1 = 206^{\circ} \)

\( \angle 1 = \frac{206^{\circ}}{2} = 103^{\circ} \)

Теперь найдем \(\angle 2\):

\( \angle 2 = 180^{\circ} - \angle 1 = 180^{\circ} - 103^{\circ} = 77^{\circ} \)

Задача 2:

Дано: \( \angle 1 : \angle 2 = 3 : 1 \)

На рисунке видно, что \(\angle 1\) и \(\angle 2\) являются смежными углами, поэтому их сумма равна \( 180^{\circ} \).

Пусть \(\angle 2 = x \). Тогда \(\angle 1 = 3x \).

Составим уравнение:

\( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \)

\( 3x + x = 180^{\circ} \)

\( 4x = 180^{\circ} \)

\( x = \frac{180^{\circ}}{4} = 45^{\circ} \)

Значит, \(\angle 2 = 45^{\circ} \).

\(\angle 1 = 3x = 3 \cdot 45^{\circ} = 135^{\circ} \)

Ответ: Задача 1: \(\angle 1 = 103^{\circ}\), \(\angle 2 = 77^{\circ}\). Задача 2: \(\angle 1 = 135^{\circ}\), \(\angle 2 = 45^{\circ}\).