Solve the following logarithmic equations:

Решение:

1. \( \frac{1}{3} \log_3 (2x+1) = 1 \)

1. Умножим обе части на 3: \( \log_3 (2x+1) = 3 \)
2. Перейдём от логарифмического уравнения к степенному: \( 2x+1 = 3^3 \)
3. Решим линейное уравнение: \( 2x+1 = 27 \) \( 2x = 26 \) \( x = 13 \)

2. \( \log_3 (x+3) = 3 + 2 \log_3 5 \)

1. Приведём правую часть к логарифму по основанию 3: \( 3 + 2 \log_3 5 = \log_3 3^3 + \log_3 5^2 = \log_3 27 + \log_3 25 = \log_3 (27 \cdot 25) = \log_3 675 \)
2. Приравняем аргументы логарифмов: \( x+3 = 675 \)
3. Решим линейное уравнение: \( x = 672 \)

3. \( \log_4 (2x+1) = \log_2 3 + 1 \)

1. Используем свойство смены основания логарифма: \( \log_4 (2x+1) = \frac{\log_2 (2x+1)}{\log_2 4} = \frac{\log_2 (2x+1)}{2} \)
2. Представим 1 как логарифм по основанию 2: \( 1 = \log_2 2 \)
3. Уравнение примет вид: \( \frac{\log_2 (2x+1)}{2} = \log_2 3 + \log_2 2 = \log_2 (3 \cdot 2) = \log_2 6 \)
4. Умножим обе части на 2: \( \log_2 (2x+1) = 2 \log_2 6 = \log_2 6^2 = \log_2 36 \)
5. Приравняем аргументы логарифмов: \( 2x+1 = 36 \)
6. Решим линейное уравнение: \( 2x = 35 \) \( x = 17.5 \)

4. \( \lg (4x-2) = 5 \lg 2 - 3 \)

1. Представим 3 как логарифм по основанию 10: \( 3 = \lg 10^3 = \lg 1000 \)
2. Уравнение примет вид: \( \lg (4x-2) = 5 \lg 2 - \lg 1000 = \lg 2^5 - \lg 1000 = \lg 32 - \lg 1000 = \lg \frac{32}{1000} = \lg 0.032 \)
3. Приравняем аргументы логарифмов: \( 4x-2 = 0.032 \)
4. Решим линейное уравнение: \( 4x = 2.032 \) \( x = 0.508 \)

5. \( \lg (12-x) = 2 \lg 4 - \lg 2 \)

1. Упростим правую часть: \( 2 \lg 4 - \lg 2 = \lg 4^2 - \lg 2 = \lg 16 - \lg 2 = \lg \frac{16}{2} = \lg 8 \)
2. Приравняем аргументы логарифмов: \( 12-x = 8 \)
3. Решим линейное уравнение: \( x = 12 - 8 \) \( x = 4 \)

6. \( \log_2 (7x-4) = 2 + \log_2 13 \)

1. Представим 2 как логарифм по основанию 2: \( 2 = \log_2 2^2 = \log_2 4 \)
2. Уравнение примет вид: \( \log_2 (7x-4) = \log_2 4 + \log_2 13 = \log_2 (4 \cdot 13) = \log_2 52 \)
3. Приравняем аргументы логарифмов: \( 7x-4 = 52 \)
4. Решим линейное уравнение: \( 7x = 56 \) \( x = 8 \)

7. \( \log_3 (3-x) = 2 - \log_2 (4-3x) \)

Примечание: В данном уравнении присутствуют логарифмы с разными основаниями (3 и 2), что делает его решение без дополнительных преобразований или приближенных методов затруднительным. Если предполагается, что основания должны быть одинаковыми, пожалуйста, уточните условие. В текущем виде привести к простому алгебраическому решению невозможно.

8. \( \log_3 (12-5x) = 2 \)

1. Перейдём от логарифмического уравнения к степенному: \( 12-5x = 3^2 \)
2. Решим линейное уравнение: \( 12-5x = 9 \) \( -5x = 9 - 12 \) \( -5x = -3 \) \( x = 0.6 \)

Ответ: 1. x = 13; 2. x = 672; 3. x = 17.5; 4. x = 0.508; 5. x = 4; 6. x = 8; 7. Уравнение с разными основаниями логарифмов, требует уточнения; 8. x = 0.6.