Solve the following mathematical expression: \(\sqrt{\frac{21 \cdot 14}{\sqrt{6}}}\)

Решение:

Запишем выражение под корнем:

\( \frac{21 \cdot 14}{\sqrt{6}} \)

Разложим числа на простые множители:

\( 21 = 3 \cdot 7 \)
\( 14 = 2 \cdot 7 \)
\( 6 = 2 \cdot 3 \)

Подставим разложения в числитель:

\( 21 \cdot 14 = (3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 7) = 2 \cdot 3 \cdot 7^2 \)

Теперь выражение под корнем выглядит так:

\( \frac{2 \cdot 3 \cdot 7^2}{\sqrt{2 \cdot 3}} \)

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{6}\) для избавления от корня в знаменателе:

\( \frac{(2 \cdot 3 \cdot 7^2) \cdot \sqrt{2 \cdot 3}}{\sqrt{2 \cdot 3} \cdot \sqrt{2 \cdot 3}} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 7^2 \cdot \sqrt{6}}{2 \cdot 3} \)

Сократим множители 2 и 3:

\( 7^2 \cdot \sqrt{6} \)

Теперь возьмем квадратный корень от полученного выражения:

\( \sqrt{7^2 \cdot \sqrt{6}} \)

Используя свойство \( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) и \( \sqrt{a^2} = a \) для \( a \ge 0 \):

\( \sqrt{7^2} \cdot \sqrt{\sqrt{6}} = 7 \cdot \sqrt[4]{6} \)

Примечание: Если бы выражение было \(\sqrt{\frac{21 \cdot 14}{6}}\), то решение было бы иным:

\( \sqrt{\frac{21 \cdot 14}{6}} = \sqrt{\frac{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 7)}{2 \cdot 3}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 3 \cdot 7^2}{2 \cdot 3}} = \sqrt{7^2} = 7 \)

Так как в исходном выражении корень \(\sqrt{6}\) находится в знаменателе, а не просто число 6, то решение с \(\sqrt[4]{6}\) является правильным.

Ответ: \( 7 \sqrt[4]{6} \).