Solve the following problems: 1) \(6 \frac{1}{4}\)^2 + 2 \(\frac{5}{49}\) \(\cdot\) (-98) 2) \(-4 \frac{1}{7} + 5 \frac{1}{3}\) : 1 \(\frac{1}{7}\) 3) \(\frac{1}{2}\)^2 + \(\frac{1}{2}\)^3 + \(\frac{1}{2}\)^4

Решение:

1) \( (6 \frac{1}{4})^2 + 2 \frac{5}{49} \cdot (-98) \)

1. Переведём смешанные числа в неправильные дроби: \( 6 \frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4} \), \( 2 \frac{5}{49} = \frac{2 \cdot 49 + 5}{49} = \frac{98 + 5}{49} = \frac{103}{49} \).
2. Возведём в квадрат: \( (\frac{25}{4})^2 = \frac{625}{16} \).
3. Выполним умножение: \( \frac{103}{49} \cdot (-98) = \frac{103}{49} \cdot (-2 \cdot 49) = 103 \cdot (-2) = -206 \).
4. Сложим результаты: \( \frac{625}{16} + (-206) = \frac{625}{16} - 206 = \frac{625}{16} - \frac{206 \cdot 16}{16} = \frac{625 - 3296}{16} = \frac{-2671}{16} \).
5. Представим в виде смешанного числа: \( -166 \frac{15}{16} \).

2) \( (-4 \frac{1}{7} + 5 \frac{1}{3}) : 1 \frac{1}{7} \)

1. Переведём смешанные числа в неправильные дроби: \( -4 \frac{1}{7} = -\frac{4 \cdot 7 + 1}{7} = -\frac{29}{7} \), \( 5 \frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3} \), \( 1 \frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{8}{7} \).
2. Сложим числа в скобках: \( -\frac{29}{7} + \frac{16}{3} = \frac{-29 \cdot 3 + 16 \cdot 7}{21} = \frac{-87 + 112}{21} = \frac{25}{21} \).
3. Выполним деление: \( \frac{25}{21} : \frac{8}{7} = \frac{25}{21} \cdot \frac{7}{8} = \frac{25 \cdot 7}{21 \cdot 8} = \frac{25 \cdot 1}{3 \cdot 8} = \frac{25}{24} \).
4. Представим в виде смешанного числа: \( 1 \frac{1}{24} \).

3) \( (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4 \)

1. Возведём в степени:
• \( (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \)
• \( (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} \)
• \( (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16} \)
2. Сложим результаты: \( \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} \).
3. Приведём к общему знаменателю 16: \( \frac{1 \cdot 4}{16} + \frac{1 \cdot 2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{4 + 2 + 1}{16} = \frac{7}{16} \).

Ответ: 1) \( -166 \frac{15}{16} \); 2) \( 1 \frac{1}{24} \); 3) \( \frac{7}{16} \).