Solve the following system of equations: $$ \begin{cases} \frac{3x+y}{3} - \frac{x-3y}{2} = 6 \\ \frac{15x-3y}{4} + \frac{3x+2y}{6} = 3 \end{cases} $$

Система уравнений

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{3x+y}{3} - \frac{x-3y}{2} = 6 \\ \frac{15x-3y}{4} + \frac{3x+2y}{6} = 3 \end{cases} $$

Шаг 1: Упростим первое уравнение.

Приведём дроби к общему знаменателю 6:

$$ \frac{2(3x+y)}{6} - \frac{3(x-3y)}{6} = 6 \\ \frac{6x+2y - (3x-9y)}{6} = 6 \\ 6x+2y - 3x+9y = 36 \\ 3x + 11y = 36 $$

Шаг 2: Упростим второе уравнение.

Приведём дроби к общему знаменателю 12:

$$ \frac{3(15x-3y)}{12} + \frac{2(3x+2y)}{12} = 3 \\ \frac{45x-9y + 6x+4y}{12} = 3 \\ 51x - 5y = 36 $$

Шаг 3: Получили новую систему уравнений:

$$ \begin{cases} 3x + 11y = 36 \\ 51x - 5y = 36 \end{cases} $$

Шаг 4: Решим систему методом подстановки или сложения. Умножим первое уравнение на 17, чтобы коэффициенты при x стали противоположными.

$$ 17(3x + 11y) = 17(36) \\ 51x + 187y = 612 $$

Шаг 5: Вычтем второе уравнение из полученного:

$$ (51x + 187y) - (51x - 5y) = 612 - 36 \\ 51x + 187y - 51x + 5y = 576 \\ 192y = 576 \\ y = \frac{576}{192} = 3 $$

Шаг 6: Подставим значение y = 3 в первое уравнение системы:

$$ 3x + 11(3) = 36 \\ 3x + 33 = 36 \\ 3x = 36 - 33 \\ 3x = 3 \\ x = 1 $$

Шаг 7: Проверим решение, подставив x = 1 и y = 3 во второе исходное уравнение:

$$ \frac{15(1)-3(3)}{4} + \frac{3(1)+2(3)}{6} = \frac{15-9}{4} + \frac{3+6}{6} = \frac{6}{4} + \frac{9}{6} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = \frac{6}{2} = 3 $$

Решение верно.

Ответ: x = 1, y = 3.