Solve the following systems of equations: 1) $$\begin{cases} 2x + y = 8 \\ 2x - y = 0 \end{cases}$$ 2) $$\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 6x - 3y = 9 \end{cases}$$ 3) $$\begin{cases} x + 2y = 3 \\ y = -0.5x \end{cases}$$

Решение систем уравнений:

1. Система 1:

   $$\begin{cases} 2x + y = 8 \\ 2x - y = 0 \end{cases}$$

   Метод сложения:

   • Сложим оба уравнения: \[ (2x + y) + (2x - y) = 8 + 0 \] \[ 4x = 8 \] \[ x = \frac{8}{4} \] \[ x = 2 \]
   • Подставим значение $$x$$ в первое уравнение: \[ 2(2) + y = 8 \] \[ 4 + y = 8 \] \[ y = 8 - 4 \] \[ y = 4 \]

   Проверка: \[ 2(2) - 4 = 4 - 4 = 0 \] (Верно)

2. Система 2:

   $$\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 6x - 3y = 9 \end{cases}$$

   Анализ:

   • Умножим первое уравнение на 3: \[ 3(2x - y) = 3(3) \] \[ 6x - 3y = 9 \]
   • Получаем второе уравнение: $$6x - 3y = 9$$. Это означает, что уравнения зависимы (являются одним и тем же уравнением, умноженным на коэффициент).
   • Следовательно, система имеет бесконечное множество решений. Любая пара $$(x, y)$$, удовлетворяющая одному из уравнений, является решением.
   • Выразим $$y$$ из первого уравнения: \[ -y = 3 - 2x \] \[ y = 2x - 3 \]

   Ответ: Бесконечное множество решений вида $$(x; 2x - 3)$$.

3. Система 3:

   $$\begin{cases} x + 2y = 3 \\ y = -0.5x \end{cases}$$

   Метод подстановки:

   • Подставим второе уравнение в первое: \[ x + 2(-0.5x) = 3 \] \[ x - x = 3 \] \[ 0 = 3 \]

   Анализ:

   • Получено неверное равенство $$0 = 3$$. Это означает, что система не имеет решений. Линии, соответствующие этим уравнениям, параллельны и не пересекаются.

   Ответ: Нет решений.