Solve the following systems of equations: a) \(\begin{cases} -2a + b - 13 = 0 \\ -5a + 3b - 37 = 0 \end{cases}\) b) \(\begin{cases} 2(2x + y) + 3(2x - y) = 32 \\ 5(2x + y) - 2(2x - y) = 4 \end{cases}\)

Решение:

а) Система уравнений:

1. \(\begin{cases} -2a + b - 13 = 0 \\ -5a + 3b - 37 = 0 \end{cases}\)
2. Выразим \( b \) из первого уравнения: \( b = 2a + 13 \).
3. Подставим во второе уравнение: \( -5a + 3(2a + 13) - 37 = 0 \).
4. Раскроем скобки: \( -5a + 6a + 39 - 37 = 0 \).
5. Упростим: \( a + 2 = 0 \), значит \( a = -2 \).
6. Найдем \( b \): \( b = 2(-2) + 13 = -4 + 13 = 9 \).

Ответ: \( a = -2, b = 9 \).

б) Система уравнений:

1. \(\begin{cases} 2(2x + y) + 3(2x - y) = 32 \\ 5(2x + y) - 2(2x - y) = 4 \end{cases}\)
2. Введем замены: пусть \( u = 2x + y \) и \( v = 2x - y \).
3. Система примет вид: \(\begin{cases} 2u + 3v = 32 \\ 5u - 2v = 4 \end{cases}\)
4. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы исключить \( v \):
5. \(\begin{cases} 4u + 6v = 64 \\ 15u - 6v = 12 \end{cases}\)
6. Сложим уравнения: \( 4u + 15u = 64 + 12 \) → \( 19u = 76 \) → \( u = 4 \).
7. Подставим \( u = 4 \) в первое уравнение системы с \( u \) и \( v \): \( 2(4) + 3v = 32 \) → \( 8 + 3v = 32 \) → \( 3v = 24 \) → \( v = 8 \).
8. Теперь найдем \( x \) и \( y \) из замен:
9. \(\begin{cases} 2x + y = 4 \\ 2x - y = 8 \end{cases}\)
10. Сложим эти уравнения: \( (2x + y) + (2x - y) = 4 + 8 \) → \( 4x = 12 \) → \( x = 3 \).
11. Подставим \( x = 3 \) в первое уравнение: \( 2(3) + y = 4 \) → \( 6 + y = 4 \) → \( y = -2 \).

Ответ: \( x = 3, y = -2 \).