Solve the geometry problem based on the image.

Дано: MN = KL = 5.8 см; ∠MNO = 60°.

Найти: диаметр, ∠MNR, ∠NKL.

Решение:

1. 
   

   Рассмотрим треугольник MNO. Так как MO и NO - радиусы окружности, то MO = NO. Следовательно, треугольник MNO - равнобедренный, и углы при основании равны: ∠NMO = ∠MNO = 60°. Тогда ∠MON = 180° - ∠NMO - ∠MNO = 180° - 60° - 60° = 60°. Следовательно, треугольник MNO - равносторонний, и MN = MO = NO = 5.8 см.

   
   


2. 
   

   Диаметр окружности равен двум радиусам: $$d = 2 \cdot MO = 2 \cdot 5.8 = 11.6$$ см.

   
   


3. 
   

   Так как NR - касательная к окружности в точке N, то угол MNO - угол между касательной и хордой. По теореме об угле между касательной и хордой, он равен половине дуги, заключенной между ними: ∠MNR = 1/2 * ∠MON = 1/2 * ∠MKN

   
   


4. 
   

   Угол ∠MKN – центральный угол, опирающийся на дугу MN. Угол ∠MKN равен углу ∠MON = 60 градусов (так как опираются на одну дугу MN). Следовательно, ∠MNR = 1/2 ∠MKN = 1/2 * 60° = 30°.

   
   


5. 
   

   Угол ∠NKL – вписанный угол, опирающийся на дугу NL. Угол ∠MNL = 90 градусов, поскольку опирается на диаметр ML (треугольник MNL — прямоугольный). Угол ∠NML = углу ∠NMO = 60 градусов (доказано ранее). Следовательно, ∠NKL = 180° - ∠MNL - ∠NML = 180° - 90° - 60° = 30°.

   
   

Ответ:

• Диаметр: 11.6 см


• ∠MNR = 30°


• ∠NKL = 30°