Solve the inequality: -13 / ((x - 4)^2 - 6) >= 0

Решение:

Для того чтобы дробь была больше или равна нулю, необходимо, чтобы числитель и знаменатель имели одинаковые знаки, либо числитель был равен нулю (но знаменатель не должен быть равен нулю).

В данном случае числитель равен -13, что является отрицательным числом.

Следовательно, для выполнения условия \( \ge 0 \), знаменатель должен быть отрицательным, то есть:

\( (x - 4)^2 - 6 < 0 \)

Решим это неравенство:

1. \( (x - 4)^2 < 6 \)
2. Извлечём квадратный корень из обеих частей, помня о знаке \( \pm \):
3. \( -\sqrt{6} < x - 4 < \sqrt{6} \)
4. Прибавим 4 ко всем частям неравенства:
5. \( 4 - \sqrt{6} < x < 4 + \sqrt{6} \)

Кроме того, знаменатель не должен быть равен нулю, то есть \( (x - 4)^2 - 6 \neq 0 \), что уже учтено в строгом неравенстве \( < 0 \).

Таким образом, решением неравенства является интервал \( (4 - \sqrt{6}; 4 + \sqrt{6}) \).

Ответ: \( x \in (4 - \sqrt{6}; 4 + \sqrt{6}) \).