Solve the inequality: (2/(x-4) + (x-4)/2)^2 <= 100/9

Решение:

1. Раскроем квадрат. Помним, что \( a^2 \le b \) эквивалентно \( -\sqrt{b} \le a \le \sqrt{b} \).
2. \( \frac{2}{x-4} + \frac{x-4}{2} \le \sqrt{\frac{100}{9}} \) и \( \frac{2}{x-4} + \frac{x-4}{2} \ge -\sqrt{\frac{100}{9}} \)
3. \( \frac{2}{x-4} + \frac{x-4}{2} \le \frac{10}{3} \) и \( \frac{2}{x-4} + \frac{x-4}{2} \ge -\frac{10}{3} \)
4. Приведём к общему знаменателю в первой части:
5. \( \frac{4 + (x-4)^2}{2(x-4)} \le \frac{10}{3} \)
6. \( \frac{4 + x^2 - 8x + 16}{2(x-4)} \le \frac{10}{3} \)
7. \( \frac{x^2 - 8x + 20}{2(x-4)} \le \frac{10}{3} \)
8. \( \frac{x^2 - 8x + 20}{x-4} \le \frac{5}{3} \)
9. \( \frac{x^2 - 8x + 20}{x-4} - \frac{5}{3} \le 0 \)
10. \( \frac{3(x^2 - 8x + 20) - 5(x-4)}{3(x-4)} \le 0 \)
11. \( \frac{3x^2 - 24x + 60 - 5x + 20}{3(x-4)} \le 0 \)
12. \( \frac{3x^2 - 29x + 80}{3(x-4)} \le 0 \)
13. Найдем корни числителя: \( 3x^2 - 29x + 80 = 0 \). \( D = (-29)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 80 = 841 - 960 = -119 \). Корней нет, т.к. \( D < 0 \) и ветви параболы направлены вверх (старший коэффициент \( 3 > 0 \)), значит числитель всегда положителен.
14. Остаётся решить \( \frac{+}{3(x-4)} \le 0 \), что эквивалентно \( x-4 < 0 \).
15. \( x < 4 \).
16. Теперь решим второе неравенство: \( \frac{2}{x-4} + \frac{x-4}{2} \ge -\frac{10}{3} \)
17. \( \frac{x^2 - 8x + 20}{2(x-4)} \ge -\frac{10}{3} \)
18. \( \frac{x^2 - 8x + 20}{x-4} \ge -\frac{5}{3} \)
19. \( \frac{x^2 - 8x + 20}{x-4} + \frac{5}{3} \ge 0 \)
20. \( \frac{3(x^2 - 8x + 20) + 5(x-4)}{3(x-4)} \ge 0 \)
21. \( \frac{3x^2 - 24x + 60 + 5x - 20}{3(x-4)} \ge 0 \)
22. \( \frac{3x^2 - 19x + 40}{3(x-4)} \ge 0 \)
23. Найдем корни числителя: \( 3x^2 - 19x + 40 = 0 \). \( D = (-19)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 40 = 361 - 480 = -119 \). Корней нет, т.к. \( D < 0 \) и ветви параболы направлены вверх (старший коэффициент \( 3 > 0 \)), значит числитель всегда положителен.
24. Остаётся решить \( \frac{+}{3(x-4)} \ge 0 \), что эквивалентно \( x-4 > 0 \).
25. \( x > 4 \).
26. Объединяем решения двух неравенств: \( x < 4 \) и \( x > 4 \).
27. Эти два условия не могут выполняться одновременно. Значит, решений нет.

Ответ: решений нет.