Solve the inequality: (2x - 1)(2x + 2) < 0

Привет! Давай разберем это неравенство вместе.

1. Находим корни каждого множителя:

• Приравниваем первый множитель к нулю:
\[ 2x - 1 = 0 \]\[ 2x = 1 \]\[ x = \frac{1}{2} \]
• Приравниваем второй множитель к нулю:
\[ 2x + 2 = 0 \]\[ 2x = -2 \]\[ x = -1 \]

2. Отмечаем корни на числовой прямой:

У нас есть точки -1 и 1/2. Они делят числовую прямую на три интервала:

• (-∞; -1)
• (-1; 1/2)
• (1/2; +∞)

3. Определяем знаки на интервалах:

Возьмем любое число из каждого интервала и подставим в исходное выражение (2x - 1)(2x + 2):

• Интервал (-∞; -1): Возьмем x = -2.
\[ (2(-2) - 1)(2(-2) + 2) = (-4 - 1)(-4 + 2) = (-5)(-2) = 10 \] (Знак «+»)
• Интервал (-1; 1/2): Возьмем x = 0.
\[ (2(0) - 1)(2(0) + 2) = (-1)(2) = -2 \] (Знак «-»)
• Интервал (1/2; +∞): Возьмем x = 1.
\[ (2(1) - 1)(2(1) + 2) = (2 - 1)(2 + 2) = (1)(4) = 4 \] (Знак «+»)

4. Выбираем нужный интервал:

Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля (< 0), то есть отрицательным. Это происходит на интервале (-1; 1/2).

Ответ: x ∈ (-1; 1/2)