Solve the inequality: b) x - 6^4/x <= 0

Решение:

Для решения неравенства \( x - \frac{6^4}{x} \le 0 \) приведём его к общему знаменателю:

\[ \frac{x^2 - 6^4}{x} \le 0 \]

Вычислим \( 6^4 \): \( 6^4 = 1296 \).

\[ \frac{x^2 - 1296}{x} \le 0 \]

Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \):

\[ \frac{(x - 36)(x + 36)}{x} \le 0 \]

Теперь найдём корни числителя и знаменателя:

• \( x - 36 = 0 \Rightarrow x = 36 \)
• \( x + 36 = 0 \Rightarrow x = -36 \)
• \( x = 0 \) (знаменатель не может быть равен нулю)

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки интервалов:

Интервалы: \( (-\infty, -36), (-36, 0), (0, 36), (36, \infty) \).

Проверим знаки выражения \( \frac{(x - 36)(x + 36)}{x} \) на каждом интервале:

• Для \( x < -36 \) (например, \( x = -40 \)): \( \frac{(-40 - 36)(-40 + 36)}{-40} = \frac{(-76)(-4)}{-40} = \frac{304}{-40} < 0 \).
• Для \( -36 < x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( \frac{(-1 - 36)(-1 + 36)}{-1} = \frac{(-37)(35)}{-1} = 1295 > 0 \).
• Для \( 0 < x < 36 \) (например, \( x = 1 \)): \( \frac{(1 - 36)(1 + 36)}{1} = \frac{(-35)(37)}{1} = -1295 < 0 \).
• Для \( x > 36 \) (например, \( x = 40 \)): \( \frac{(40 - 36)(40 + 36)}{40} = \frac{(4)(76)}{40} = \frac{304}{40} > 0 \).

Нас интересуют интервалы, где выражение \( \le 0 \). Это \( (-\infty, -36) \) и \( (0, 36) \). Точки -36 и 36 включаются в решение, так как неравенство нестрогое, а точка 0 не включается, так как на ноль делить нельзя.

Ответ: \( x \in (-\infty, -36] \cup (0, 36] \).