Solve the inequality: \(\frac{2-3x}{4} \le \frac{6-5x}{8} + \frac{1}{5}\) for x belonging to the interval \([-5; 0]\).

Решение:

1. Приведём неравенство к общему знаменателю. Общий знаменатель для 4, 8 и 5 равен 40.
2. Умножим обе части неравенства на 40:
   \(40 \cdot \frac{2-3x}{4} \le 40 \cdot \left(\frac{6-5x}{8} + \frac{1}{5}\)\)
3. \(10(2-3x) \le 5(6-5x) + 8(1)\)
4. Раскроем скобки:
   \(20 - 30x \le 30 - 25x + 8\)
5. \(20 - 30x \le 38 - 25x\)
6. Перенесём члены с \(x\) в одну сторону, а числа — в другую:
   \(-30x + 25x \le 38 - 20\)
7. \(-5x \le 18\)
8. Разделим обе части на -5, изменив знак неравенства на противоположный:
   \(x \ge \frac{18}{-5}\)
9. \(x \ge -3.6\)
10. Мы получили, что \(x\) должен быть больше или равен \(-3.6\). По условию, \(x\) принадлежит промежутку \([-5; 0]\).
11. Найдём пересечение условий: \(x \ge -3.6\) и \(x \in [-5; 0]\).
12. Пересечением этих условий является промежуток \([-3.6; 0]\).

Ответ: \([-3.6; 0]\).