Контрольные задания
Вопрос:

Solve the inequality: \(\frac{4}{11^{x+5} - 11} \ge \frac{3}{121 \cdot 11^{x+3} - 121}\)

Фото задания: Solve the inequality: \(\frac{4}{11^{x+5} - 11} \ge \frac{3}{121 \cdot 11^{x+3} - 121}\)Фото задания

Ответ:

Решение:

Запишем неравенство, используя свойства степеней:

\[ \frac{4}{11^{x+5} - 11} \ge \frac{3}{11^2 \cdot 11^{x+3} - 11^2} \]\[ \frac{4}{11^{x+5} - 11} \ge \frac{3}{11^{x+5} - 11^2} \]

Пусть \( y = 11^{x+5} \). Тогда неравенство примет вид:

\[ \frac{4}{y - 11} \ge \frac{3}{y - 121} \]

Перенесём всё в левую часть:

\[ \frac{4}{y - 11} - \frac{3}{y - 121} \ge 0 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{4(y - 121) - 3(y - 11)}{(y - 11)(y - 121)} \ge 0 \]\[ \frac{4y - 484 - 3y + 33}{(y - 11)(y - 121)} \ge 0 \]\[ \frac{y - 451}{(y - 11)(y - 121)} \ge 0 \]

Отметим на числовой прямой корни числителя и знаменателя: 11, 121, 451. Нам нужно найти интервалы, где выражение положительно.

Рассмотрим знаки на интервалах:

  • \( y < 11 \): \( \frac{-}{(-)(-)}=- \)
  • \( 11 < y < 121 \): \( \frac{-}{(+)(-)}=+ \)
  • \( 121 < y < 451 \): \( \frac{-}{(+)(+)}= - \)
  • \( y > 451 \): \( \frac{+}{(+)(+)}=+ \)

Итак, решением для \( y \) является \( 11 < y \le 451 \) или \( y > 121 \).

Вернёмся к замене \( y = 11^{x+5} \):

  1. \( 11 < 11^{x+5} \le 451 \)
    • \( 1 < x+5 \)
    • \( x > -4 \)
  2. \( 11^{x+5} > 121 \)
    • \( x+5 > 2 \)
    • \( x > -3 \)

Объединим полученные интервалы:

  • \( x > -4 \) и \( x > -3 \) → \( x > -3 \)
  • \( x > -3 \) и \( x > -3 \) → \( x > -3 \)

Учитывая, что \( y \) должно быть больше 11, но не равно 11, то \( 11^{x+5} > 11 \), что означает \( x+5 > 1 \) или \( x > -4 \).

Рассмотрим два случая для \( \frac{y - 451}{(y - 11)(y - 121)} \ge 0 \):

  1. Случай 1: \( y - 451 ≥ 0 \) и \( (y - 11)(y - 121) > 0 \)
    • \( y ≥ 451 \)
    • \( y < 11 \) или \( y > 121 \)

    Пересечение: \( y ≥ 451 \).

  2. Случай 2: \( y - 451 ≤ 0 \) и \( (y - 11)(y - 121) < 0 \)
    • \( y ≤ 451 \)
    • \( 11 < y < 121 \)

    Пересечение: \( 11 < y < 121 \).

Объединяя оба случая, получаем \( 11 < y < 121 \) или \( y ≥ 451 \).

Подставляем \( y = 11^{x+5} \):

  1. \( 11 < 11^{x+5} < 121 \)
    • \( 1 < x+5 < 2 \)
    • \( -4 < x < -3 \)
  2. \( 11^{x+5} ≥ 451 \)
    • \( x+5 ≥ \log_{11}{451} \)
    • \( x ≥ \log_{11}{451} - 5 \)

\( \log_{11}{451} \approx 2.49 \)

\( x ≥ 2.49 - 5 \)

\( x ≥ -2.51 \)

Таким образом, решение: \( -4 < x < -3 \) или \( x ≥ \log_{11}{451} - 5 \).