Solve the inequality: \(\frac{x^2(x-2)}{8x+4} \ge 0\)

Решение:

Для решения неравенства \(\frac{x^2(x-2)}{8x+4} \ge 0\) найдём корни числителя и знаменателя.

1. Корни числителя:

• \( x^2 = 0 \implies x = 0 \) (корень кратности 2)
• \( x - 2 = 0 \implies x = 2 \)

2. Корень знаменателя:

• \( 8x + 4 = 0 \implies 8x = -4 \implies x = -\frac{4}{8} = -0.5 \)

3. Числовая ось:

Расставим корни на числовой оси: \( -0.5, 0, 2 \). Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x = -0.5 \) — выколотая точка.

Определим знаки интервалов:

• Для \( x > 2 \), например \( x=3 \): \(\frac{3^2(3-2)}{8(3)+4} = \frac{9(1)}{24+4} = \frac{9}{28} > 0 \)
• Для \( 0 < x < 2 \), например \( x=1 \): \(\frac{1^2(1-2)}{8(1)+4} = \frac{1(-1)}{8+4} = \frac{-1}{12} < 0 \)
• Для \( -0.5 < x < 0 \), например \( x=-0.25 \): \(\frac{(-0.25)^2(-0.25-2)}{8(-0.25)+4} = \frac{(+)(-)}{-2+4} = \frac{(-)}{(+)} < 0 \)
• Для \( x < -0.5 \), например \( x=-1 \): \(\frac{(-1)^2(-1-2)}{8(-1)+4} = \frac{(+)(-)}{-8+4} = \frac{(-)}{(-)} > 0 \)

4. Анализ знаков:

Нам нужны интервалы, где выражение \(\ge 0\).

• Интервал \( x < -0.5 \) подходит.
• Точка \( x = 0 \) является корнем числителя и имеет чётную кратность, поэтому знак не меняется при переходе через неё. Значит, \( x=0 \) включается в решение, и интервал \( -0.5 < x < 0 \) с отрицательным знаком остаётся вне решения.
• Интервал \( x = 2 \) подходит, так как он является корнем числителя и неравенство нестрогое.

5. Объединение интервалов:

Решением являются интервалы \( (-\infty, -0.5) \) и \( [0, 2] \).

Ответ: \( x \in (-\infty, -0.5) \cup [0, 2] \).