Solve the inequality: log_1/5(2x + 3) > -3

Решение:

Чтобы решить логарифмическое неравенство \( \log_{1/5}(2x + 3) > -3 \), необходимо учесть два условия:

1. Ограничение на аргумент логарифма: Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

\( 2x + 3 > 0 \)
\( 2x > -3 \)
\( x > -3/2 \)

2. Решение самого неравенства: Так как основание логарифма \( 1/5 \) меньше 1, при переходе от логарифма к аргументу знак неравенства меняется на противоположный.

\( 2x + 3 < (1/5)^{-3} \)
\( 2x + 3 < 5^3 \)
\( 2x + 3 < 125 \)
\( 2x < 125 - 3 \)
\( 2x < 122 \)
\( x < 61 \)

Теперь объединим оба условия:

• \( x > -3/2 \)
• \( x < 61 \)

Объединяя эти два условия, получаем интервал:

\( -3/2 < x < 61 \)

Ответ: \( (-3/2; 61) \)