Solve the inequality: $$\sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ for $$x \in [-\frac{3\pi}{2}; 2\pi]$$.

Решение:

1. Нам нужно решить неравенство \( \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} \) на промежутке \( [-\frac{3\pi}{2}; 2\pi] \).
2. Сначала найдём значения \( x \), при которых \( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). На единичной окружности этим значениям соответствуют углы \( \frac{5\pi}{4} \) и \( \frac{7\pi}{4} \).
3. На промежутке \( [-\frac{3\pi}{2}; 2\pi] \) эти значения будут:
   • \( \frac{5\pi}{4} \) (находится в пределах интервала)
   • \( -\frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} - 2\pi \) (находится в пределах интервала)
   • \( -\frac{3\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} \) (находится в пределах интервала)
   • \( -\frac{7\pi}{4} \) (меньше \( -\frac{3\pi}{2} \), т.к. \( -\frac{7\pi}{4} = -1.75\pi \) и \( -\frac{3\pi}{2} = -1.5\pi \))
   • \( \frac{13\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi \) (больше \( 2\pi \))
4. Отметим на единичной окружности промежуток \( [-\frac{3\pi}{2}; 2\pi] \). Это полный оборот, начиная с \( -\frac{3\pi}{2} \) (что соответствует \( \frac{\pi}{2} \) в положительном направлении) и заканчивая \( 2\pi \).
5. Мы ищем значения \( x \), где \( \sin x \) меньше \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Это соответствует дуге единичной окружности, расположенной ниже линии \( y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
6. На промежутке \( [-\frac{3\pi}{2}; 2\pi] \), интервал, удовлетворяющий условию \( \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} \), начинается после \( \frac{5\pi}{4} \) и заканчивается перед \( \frac{13\pi}{4} \).
7. Учитывая заданный интервал \( [-\frac{3\pi}{2}; 2\pi] \), решение будет:
   • От \( \frac{5\pi}{4} \) до \( 2\pi \) (включительно).
   • От \( -\frac{3\pi}{2} \) до \( \frac{7\pi}{4} \) (исключая \( \frac{7\pi}{4} \)).
8. Объединяя эти интервалы и учитывая, что \( \sin x \) строго меньше \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \), получаем: \( x \in [-\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{4}) \cup (\frac{5\pi}{4}; 2\pi] \).

Ответ: \( x \in [-\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{4}) \cup (\frac{5\pi}{4}; 2\pi] \).