Solve the inequality: (sqrt(2)+1)^((6x-6)/(x+1)) <= (sqrt(2)+1)^(-x)

Решение:

Данное неравенство имеет вид \( a^{f(x)} ≤ a^{g(x)} \), где \( a = \sqrt{2} + 1 \), \( f(x) = \frac{6x-6}{x+1} \), \( g(x) = -x \).

Поскольку основание \( a = \sqrt{2} + 1 \gt 1 \), при решении показательного неравенства необходимо перейти к сравнению показателей степеней, сохраняя знак неравенства:

\( \frac{6x-6}{x+1} ≤ -x \)

Перенесём всё в левую часть:

\( \frac{6x-6}{x+1} + x ≤ 0 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{6x-6 + x(x+1)}{x+1} ≤ 0 \)

\( \frac{6x-6 + x^2+x}{x+1} ≤ 0 \)

\( \frac{x^2+7x-6}{x+1} ≤ 0 \)

Найдем корни числителя \( x^2+7x-6=0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 49 + 24 = 73 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{73}}{2} \]

Найдем корень знаменателя:

\[ x = -1 \]

Теперь методом интервалов определим знаки выражения \( \frac{x^2+7x-6}{x+1} \) на числовой прямой.

Корни: \( \frac{-7 - \sqrt{73}}{2} \approx -7.77 \), \( -1 \), \( \frac{-7 + \sqrt{73}}{2} \approx 0.77 \).

Разбиваем числовую прямую на интервалы:

1. \( (-∞, \frac{-7 - \sqrt{73}}{2}) \): Возьмем \( x = -8 \). Выражение: \( \frac{(-8)^2+7(-8)-6}{-8+1} = \frac{64-56-6}{-7} = \frac{2}{-7} \lt 0 \).
2. \( (\frac{-7 - \sqrt{73}}{2}, -1) \): Возьмем \( x = -2 \). Выражение: \( \frac{(-2)^2+7(-2)-6}{-2+1} = \frac{4-14-6}{-1} = \frac{-16}{-1} = 16 \gt 0 \).
3. \( (-1, \frac{-7 + \sqrt{73}}{2}) \): Возьмем \( x = 0 \). Выражение: \( \frac{0^2+7(0)-6}{0+1} = \frac{-6}{1} = -6 \lt 0 \).
4. \( (\frac{-7 + \sqrt{73}}{2}, +∞) \): Возьмем \( x = 1 \). Выражение: \( \frac{1^2+7(1)-6}{1+1} = \frac{1+7-6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \gt 0 \).

Нам нужно, чтобы выражение было \(≤ 0 \). Значит, подходят интервалы \( (-∞, \frac{-7 - \sqrt{73}}{2}] \) и \( (-1, \frac{-7 + \sqrt{73}}{2}] \). Обратите внимание, что \( x = -1 \) не входит в область допустимых значений, так как знаменатель обращается в ноль.

Область допустимых значений для \( x \) также должна учитываться. В исходном неравенстве знаменатель \( x+1 \) не должен быть равен нулю, то есть \( x ≠ -1 \).

Таким образом, решением неравенства являются:

\[ x ∈ (-∞, \(\frac{-7 - \sqrt{73}}{2}\)] \(\cup\) \(-1, \frac{-7 + \sqrt{73}}{2}] \\)

Ответ: \( x ∈ (-∞, \frac{-7 - \sqrt{73}}{2}] \cup (-1, \frac{-7 + \sqrt{73}}{2}] \).