Solve the inequality: (x-5)^2 / (x-3) <= 0

Решение:

Для решения неравенства \( \frac{(x-5)^2}{x-3} \le 0 \) необходимо проанализировать знаки числителя и знаменателя.

1. Числитель: \( (x-5)^2 \). Так как квадрат числа всегда неотрицателен, \( (x-5)^2 \ge 0 \) для всех \( x \).
2. Знаменатель: \( x-3 \). Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому \( x
   e 3 \).
3. Анализ знака дроби: Дробь будет меньше или равна нулю, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки, или когда числитель равен нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю).
• Случай 1: \( (x-5)^2 = 0 \) и \( x-3
  e 0 \). Это дает \( x=5 \). При \( x=5 \), \( (5-5)^2 / (5-3) = 0/2 = 0 \), что удовлетворяет условию \( \le 0 \).
• Случай 2: \( (x-5)^2 > 0 \) и \( x-3 < 0 \). \( (x-5)^2 > 0 \) при \( x
  e 5 \). \( x-3 < 0 \) при \( x < 3 \). Объединяя эти условия, получаем \( x < 3 \).

Объединяем решения из обоих случаев: \( x < 3 \) или \( x = 5 \).

В интервальном виде это записывается как \( (-\infty, 3) \cup \{5\} \).

Ответ: \( x \in (-\infty, 3) \cup \{5\} \).