Solve the inequality: \( |x-5| < \sqrt{7} \cdot (x-5) \)

Решение:

Данное неравенство имеет вид \( |a| < k \cdot \cdot a \), где \( a = x-5 \) и \( k = \sqrt{7} \).

Рассмотрим два случая:

1. Случай 1: \( x-5 \ge 0 \) (т.е. \( x \ge 5 \)).
   В этом случае \( |x-5| = x-5 \). Неравенство принимает вид: \( x-5 < \sqrt{7}(x-5) \).
   Перенесём всё в одну сторону: \( x-5 - \sqrt{7}(x-5) < 0 \).
   Вынесем общий множитель \( (x-5) \): \( (x-5)(1 - \sqrt{7}) < 0 \).
   Поскольку \( \sqrt{7} > 1 \), то \( 1 - \sqrt{7} < 0 \).
   Чтобы произведение было отрицательным, при отрицательном множителе \( (1 - \sqrt{7}) \), второй множитель \( (x-5) \) должен быть положительным:
   \( x-5 > 0 \) \( \cdot x > 5 \).
   Учитывая условие случая \( x \ge 5 \), получаем \( x > 5 \).
2. Случай 2: \( x-5 < 0 \) (т.е. \( x < 5 \)).
   В этом случае \( |x-5| = -(x-5) \). Неравенство принимает вид: \( -(x-5) < \sqrt{7}(x-5) \).
   Перенесём всё в одну сторону: \( -(x-5) - \sqrt{7}(x-5) < 0 \).
   Вынесем общий множитель \( -(x-5) \) (или \( x-5 \)): \( (x-5)(-1 - \sqrt{7}) < 0 \).
   Поскольку \( -1 - \sqrt{7} < 0 \), то для выполнения неравенства, множитель \( (x-5) \) должен быть положительным:
   \( x-5 > 0 \) \( \cdot x > 5 \).
   Однако, это противоречит условию случая \( x < 5 \). Следовательно, в этом случае решений нет.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем, что неравенство выполняется при \( x > 5 \).

Ответ: \( x > 5 \).