Solve the inequality: (x+8)^2(x-1) / (x^2+7x-8) >= 0.

Решение:

Данное неравенство:

\[ \frac{(x+8)^2(x-1)}{x^2+7x-8} \ge 0 \]

Разложим знаменатель на множители:

\[ x^2+7x-8 = (x+8)(x-1) \]

Теперь неравенство выглядит так:

\[ \frac{(x+8)^2(x-1)}{(x+8)(x-1)} \ge 0 \]

Определим область допустимых значений (ОДЗ), где знаменатель не равен нулю:

\[ (x+8)(x-1) \neq 0 \]

Следовательно, \( x \neq -8 \) и \( x \neq 1 \).

Упростим дробь, сократив одинаковые множители. При этом нужно учитывать ОДЗ.

Для \( x \neq -8 \) и \( x \neq 1 \), неравенство сводится к:

\[ \frac{(x+8)^2}{(x+8)} \ge 0 \]

Это неверно, мы должны сократить \( (x+8) \) если \( x \neq -8 \) и \( (x-1) \) если \( x \neq 1 \).

Рассмотрим знаки числителя и знаменателя.

Числитель \( (x+8)^2(x-1) \) неотрицателен, когда \( x=1 \) или \( x \ge 1 \) (так как \( (x+8)^2 \ge 0 \) для всех \( x \)).

Знаменатель \( x^2+7x-8 = (x+8)(x-1) \) положителен, когда \( x < -8 \) или \( x > 1 \).

Знаменатель отрицателен, когда \( -8 < x < 1 \).

Рассмотрим интервалы:

• \( x < -8 \): Числитель: \( + \cdot - = - \). Знаменатель: \( - \cdot - = + \). Дробь: \( -/+ = - \). Не подходит.
• \( x = -8 \): Знаменатель равен 0, не подходит (ОДЗ).
• \( -8 < x < 1 \): Числитель: \( + \cdot - = - \). Знаменатель: \( + \cdot - = - \). Дробь: \( -/- = + \). Подходит.
• \( x = 1 \): Числитель: \( + \cdot 0 = 0 \). Знаменатель: \( + \cdot 0 = 0 \). Не подходит (деление на 0).
• \( x > 1 \): Числитель: \( + \cdot + = + \). Знаменатель: \( + \cdot + = + \). Дробь: \( +/+ = + \). Подходит.

Кроме того, \( (x+8)^2 \ge 0 \) для всех \( x \).

Рассмотрим случай, когда \( x = -8 \). Знаменатель равен 0, поэтому \( x=-8 \) не входит в ОДЗ.

Рассмотрим случай, когда \( x = 1 \). Числитель равен 0, но знаменатель также равен 0, поэтому \( x=1 \) не входит в ОДЗ.

Итак, исходное неравенство эквивалентно:

\[ \frac{(x+8)^2(x-1)}{(x+8)(x-1)} \ge 0 \]

При \( x \neq -8 \) и \( x \neq 1 \), мы можем сократить:

\[ \frac{(x+8)}{(x+8)} \cdot \frac{(x+8)(x-1)}{(x-1)} \ge 0 \]

Это неверно. Верный подход:

Рассмотрим знаки числителя \( N = (x+8)^2(x-1) \) и знаменателя \( D = (x+8)(x-1) \).

• \( (x+8)^2 \ge 0 \) для всех \( x \).
• \( x-1 \) положительный при \( x > 1 \), отрицательный при \( x < 1 \), и ноль при \( x = 1 \).
• \( x+8 \) положительный при \( x > -8 \), отрицательный при \( x < -8 \), и ноль при \( x = -8 \).

Знаменатель \( D \) равен 0 при \( x=-8 \) и \( x=1 \). Эти значения исключаются.

Интервалы:

• \( x < -8 \): \( N = (+)(-) = - \). \( D = (-)(-) = + \). \( N/D = -/+ = - \). Не подходит.
• \( -8 < x < 1 \): \( N = (+)(-) = - \). \( D = (+)(-) = - \). \( N/D = -/- = + \). Подходит.
• \( x > 1 \): \( N = (+)(+) = + \). \( D = (+)(+) = + \). \( N/D = +/+ = + \). Подходит.

Также рассмотрим случай, когда числитель равен 0. \( (x+8)^2(x-1) = 0 \) при \( x = -8 \) или \( x = 1 \). Но эти значения не входят в ОДЗ.

Таким образом, неравенство выполняется при \( -8 < x < 1 \) и \( x > 1 \).

Объединяя эти интервалы, получаем \( x \neq -8 \) и \( x > 1 \) или \( -8 < x < 1 \).

Это можно записать как \( x \neq -8 \) и \( x \neq 1 \) и \( x \neq -8 \).

Правильное решение:

Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{(x+8)^2(x-1)}{(x+8)(x-1)} \).

ОДЗ: \( x \neq -8 \) и \( x \neq 1 \).

При \( x \neq -8 \) и \( x \neq 1 \), мы можем сократить:

\[ f(x) = \frac{(x+8)^2}{(x+8)} = x+8 \]

Таким образом, нам нужно решить неравенство \( x+8 \ge 0 \) с учётом ОДЗ.

\[ x+8 \ge 0 \implies x \ge -8 \]

Учитывая, что \( x \neq -8 \) и \( x \neq 1 \), получаем:

\[ x > -8 \text{ и } x \neq 1 \]

Это интервалы \( (-8, 1) \cup (1, ∞) \).

Ответ: \( (-8, 1) \cup (1, ∞) \).